Н.Ю. Ероховец, Трёхмерные многогранники, фуллерены и геометрия Лобачевского. Часть 1.

Выпуклый трёхмерный многогранник -- это ограниченная фигура в пространстве, задаваемая как пересечение полупространств. Два многогранника комбинаторно одинаковы, если можно установить взаимно однозначное соответствие между множествами их вершин, рёбер и граней, сохраняющее включение. Для выпуклых многогранников известна формула Эйлера: число вершин минус число рёбер плюс число граней всегда равно двум. Многогранник называется простым, если каждая его вершина лежит ровно в трёх гранях. С конца XIX века известен следующий результат В.Эберхарда: каждый простой многогранник комбинаторно может быть получен из тетраэдра при помощи последовательности операций, каждая из которых является срезкой вершины, ребра или пары смежных рёбер одной плоскостью. Операции Эберхарда использовались известным русским учёным Е.С.Фёдоровым в кристаллографии.

Фуллереном мы называем простой многогранник, у которого каждая грань является пятиугольником или шестиугольником. Фуллерены являются моделями одноименных молекул углерода, за открытие которых Х.Крото, Р.Кёрл и Р.Смолли в 1996 году получили Нобелевскую премию. Самый известный фуллерен C60 имеет форму футбольного мяча (а также Архимедова тела усечённого икосаэдра). Из формулы Эйлера следует, что каждый фуллерен имеет ровно 12 пятиугольников. В то же время число шестиугольников может быть любым, кроме единицы (попробуйте это строго доказать!). Для фуллеренов имеется единственная операция Эберхарда, которая фуллерены переводит в фуллерены. Эта операция может быть описана так: пусть имеется фрагмент, состоящий из шестиугольника и двух пятиугольников, смежных с ним по противоположным рёбрам. Тогда операция заключается в подразделении шестиугольника новым ребром на два пятиугольника так, что старые пятиугольники превращаются в шестиугольники. С помощью такой операции из единственного фуллерена с двумя шестиугольниками (мы называем его 6-бочкой) можно получить некоторый фуллерен с любым большим числом шестиугольников (но не любой, попробуйте доказать). Эта операция для фуллеренов была описана химикам М.Эндо и Х.Крото. Она играет важную роль в теории образования фуллеренов.

Имеется 1-параметрическое семейство фуллеренов, которое состоит из додекаэдра и так называемых (5,0)-нанотрубок. Поверхность таких фуллеренов получается разрезанием поверхности додекаэдра на две шапочки, состоящие из пятиугольника, окружённого пятиугольниками, и добавлением некоторого набора поясов, состоящих из пяти шестиугольников.

Мы покажем, что каждый фуллерен, не лежащий в этом семействе, может быть получен из 6-бочки при помощи операций срезки пары смежных рёбер так, что после каждой операции получается фуллерен или простой многогранник с одним семиугольником, остальные грани которого являются пятиугольниками или шестиугольниками. Этот результат даёт метод перечисления всех фуллеренов, который может быть реализован компьютерной программой.

Планируется также обсудить следующий факт. Любой фуллерен может быть реализован в пространстве Лобачевского так, что все его углы будут прямыми. Это позволяет склеивать из нескольких копий фуллеренов трёхмерные поверхности.