MATEMATICA 2° CICLO - Matematica nel mondo contemporaneo - Modulo III - 2° incontro

Scuola Normale Superiore e Accademia dei Lincei - 23 aprile 2021
Prof. Antonio Giorgilli, Università di Milano.

La dinamica del caos, il caos della dinamica
Il corso intende proporre agli ascoltatori una linea di lettura dello sviluppo della Meccanica e, più in generale, della teoria dei Sistemi Dinamici. Seguendo il filo conduttore della dinamica planetaria si rivede lo sviluppo delle nostre conoscenze dalla descrizione classica dei moti dei corpi celesti come sistema perfettamente ordinato alla scoperta dei fenomeni caotici. Si mostra in particolare come la coesistenza di ordine e caos sia un fenomeno tipico: il caos è talvolta ben nascosto, ma estremamente pervasivo.

Si parte dal paradigma dei moti ordinati, tipicamente composizione di moti periodici. Il modello principe e' costituito dai moti planetari, e dalla scoperta dell'ordine che si cela sotto la loro apparente complessita'. In termini moderni si parla di "sistemi integrabili" e di "moti quasi periodici": la dinamica si descrive come combinazione di periodi.

Si passa poi a illustrare le deviazioni rispetto alla dinamica ordinata. Anche in questo campo la dinamica planetaria fa da guida alla scoperta del ruolo delle risonanze nel destabilizzare sistemi all'apparenza del tutto ordinati: i primi esempi sono le deviazioni delle orbite di Giove e Saturno e la distribuzione apparentemente bizzarra degli asteroidi. L'uso del calcolatore e la scoperta del comportamento caotico in modelli semplici ha mostrato come il caos sia pervasivo, anche se a volte si manifesta su scale spaziali troppo piccole o su intervalli temporali troppo lunghi per essere percettibile direttamente; e' una scoperta che dobbiamo a Poincare' (fine del secolo XIX), ma diventata conoscenza comune settant'anni dopo.

Nella parte finale si illustrano le scoperte matematiche che hanno fortemente influenzato lo studio della dinamica nelle seconda meta' del secolo ormai trascorso: il teorema di Kolmogorov sulla persistenza di moti quasi periodici e il teorema di Nekhoroshev sulla stabilita' per tempi esponenzialmente lunghi. Si tratta di due teoremi che si riallacciano al problema della stabilita' del sistema planetario - e lo lasciano ancora aperto.