АЛГЕБРА против ГЕОМЕТРИИ! Голосуй за метод!

ABCD - прямоугольная тр, CM=MD, BM=2, AM=3, AM перп. BM. Найти площадь трапеции.

[chan_nel]

Я решил так же, как и вы, просто перенес треугольник на 180* ВСМ так, чтобы получился прямоульный треугольник АМВ1. Доказать, что он прямоугольный легко, потому просто пропустим. И у нового треугольника АМВ1 МВ1 = 2, так как тр-к ВСМ просто перенесся, не меняя стороны, получили 2 равных по двум катетам прямоугольных треугольника АМВ и АМВ1. SАМВ = 3*2/2 = 3, значит S2AMB = 6. Эта площадь такая же, как и у трапеции АВСD, просто из = за переноса треугольника АМВ она превратилась в треугольник АВВ1.

[AlexeyEvpalov]

Геометрическое решение красивое и более простое. Спасибо оба способа.

[сражениетанков]

А можно пририсовать такую же но перевернутую трапецию слева. Тогда все станет видно

[Snuryus]

Мне больше нравится метод оригами :) Согнул фигуру по красным линиям и обнаружил что площадь двух уголков равна площади АВМ :)

[pojuellavid]

Алгебраически. Площади подобных относятся, как 13:9:4. Т.к. площадь большего =3, то площади других =27/13 и 12/13, а пл. трапеции = 6.
Геометрически. ВСМ поворачиваем вокруг т М до совмещения МС и МД. Получаем два треугольника с катетами 2 и 3.
Ответ:6

[Григоров_Алексей]

Красивая задача! Андрей — красавчик! Я тоже решил поворотом, правда вертел ВСМ на 180°. Вообще, видишь равные отрезки из одной точки - поворачивай! Очень много решается так быстро. И с медианами, и с квадратами, ромбами, и с равнобедренными треугольниками...

[AlexandraMarchenkova]

1) Я бы сделала дополнительные построения:
а) провела бы из вершины А вверх прямую, параллельную отрезку ВМ,
в) а из вершины В провела бы вниз прямую, параллельную отрезку АМ.
Точку пересечения этих 2-х линий назвала бы Р.
Далее опустила бы перпендикуляры из вершин А и В на РМ. Точки пересечения с диагональю прямоугольника АРВМ назвала бы А1 и В1 соответственно.
2) Рассмотрев ∆-ки АА1К и КВВ1, пришла бы к выводу, что они равны (по 3-м углам и равенстве сторон АА1 и ВВ1).
3) ∆-ки АА1М и АМD равны (по построению).
Равны и ∆-ки ВВ1М и ВСМ (по построению).
Следовательно, можно записать
S(АА1М)+S(ВВ1М)=
S(АМD)+S(ВСМ)
4) Но можно так же утверждать, что
[S(АА1М) -
5) Но поскольку ранее мы в пункте 2 выяснили, что АА1К и КВВ1 равны, то опять-таки можно записать
[S(АА1М) -
S(ABM)=AM×BM/2
6) Учитывая пункт 3, равенство пункта 5 можно представить
[S(АА1М) - S(АА1К)]+[S(ВВ1М+S(KBB1)]=
S(АА1М)+S(ВВ1М)=
S(АМD)+S(ВСМ)=
S(ABM)=AM×BM/2
7) Поэтому S(ABCD)=AM×BM=3×2=6 ☑️☑️

[tsaiis]

Я так и не научился разделять варианты на геометрические и алгебраические... BC=x, AD=y. Тр-ки ВМС и АМД подобны(взаим.перпенд). Отсюда:
4-x^2=9-y^2
\/(9--y^2):3=x:2 x=4/\/13, y=9/\/13. CD=12/\/13. Sabcd=6

[P.S.Q.]

Я решил так же, как и Андрей. Только перевернул вниз маленький верхний треугольник, что в принципе не является иным способом решения. Получил равнобедренный треугольник с известной высотой 3 и основанием 4. Задача не на глубокие знания геометрии, а на сообразительность, что не менее важно, а может и более важно в геометрии.

[AndranikAdamyan-fb]

Сумма площадей верхнего и нижнего треугольника равна половине трапеции
ah/4+bh/4. Тогда столько же приходится на оставшуюся часть, площадь которой 3*2/2.
Ответ 2*3

[ericasi]

Я продлила АМ и ВМ на такие же длины. Получился 4-х угольник, он параллелограмм с перпендикулярными диагоналями. Все получившиеся треугольники попарно равны. Нашла площадь ромба по диагоналям. А площадь трапеции половина площади полученного ромба.

[P.S.Q.]

Можно также создать прямоугольник, "установив" на сторону АВ оба треугольника, при этом маленький треугольник с углом С поместить снизу к точке А, а большой треугольник с углом Д прикрепить к точке В. Будет прямоугольник 2*3.

[andrewdronsson]

До начала просмотра видео: маленький жёлтенький прямоуголюный треугольник заворачиваем так, чтобы он прислонился к нижнему своим большим катетом. Объединим два нижних в один. В результате имеем два прямоугольных треугольника, каждый площадью в три квадратных попугая, игого шесть. А теперь послушаем, что нам тут поведают.

[МихаилСекач-въ]

Треугольники AMD и MBC подобны по своим углам, и соотносятся линейными размерами как 3 к 2. Следовательно AD к MC (а заодно и к MD) тоже как 3 к 2. AM к BM по условию 3 к 2, значит и третий треугольник AMB подобен. Проводим перпендикуляр из точки M на AB и получаем два меньших подобных треугольника, равных треугольникам AMD и MBC. А дальше хоть оригами, хоть просто 3х2.

[adept]

1. Красные - это биссектрисы (легко доказать, проведя среднюю линию).
2. Высота МН даёт две пары равных тр-ков (по общей стороне и углу), по одному из них
в сумме дают исходный тр-к АВМ. S(ABCD) = 2S(ABM) = 6.

[WalerijSchmidt-gd]

Все треугольники подобны, больший катет к меньшему=3/2, тогда СМ=3/2b, AD=9/4b .Из тр.АДМ по т. Пифагора найдем b=4/ на ^ из 13 . Вычислим пл . То. АДМ и ВСМ, подставив значение b, и сложим, получим S=3 .

[romanverny]

Я продолжил АМ и ВМ, то есть справа достроил симметричную трапецию, в серединке получились четыре прямоугоульных треугольника, в которых прямой угол у всех в точке М, ну а дальше классика жанра.

[ЯшинРаушанов]

Продолжим сторону ВМ до пересечения со стороной АD, скажем ВF, образуется треугольник АВF, причем треугольник MDF равен треугольнику ВСM и займет его место, в результате площадь трапеции равна площади треугольника АВF, которая равна половине произведения основания ВF на высоту АМ, т. е. 2*3=6, а теперь посмотрим как решат другие.❤

[alexnikola]

я решил тригой как обычно... а понравился больше андрей конечно... катя - технично... андрей - феерично... оба молодцы

[kostyabah]

Я провел высоту к АВ и треуггльных на два соседних треугольника. Все