ДЛЯ НОВИЧКОВ (полная версия). ГОЛОСУЙ ЗА МЕТОД!

Тр. ABC прямоугольный, биссектриса AK делит катет BCна отрезки CK=3, KB=5. Найти площадь тр-ка ABC.

[mikhailkadomtsev]

Задача, разумеется, простая. Но Казаков ведь ведёт канал и для новичков. Так что, давайте ещё раз поблагодарим его за отличную работу.

[denisboroda]

Катя с Никитой упустили подобие треугольников ABC и KBM.

[Alexander--]

Задача-одноходовка на свойство биссектрисы.
А вот мой способ: без свойства и без подобия. И даже без иксов. Начало, как у Никиты: проводим перпендикуляр KM, находим KM = 4.
А дальше проводим среднюю линию PQ, параллельную AC. ∆PQB = ∆KMB по стороне (4) и двум углам (прямому и общему острому). Отсюда PQ = MK = 3. Далее из P (середины AB) снова проводим среднюю линию PR, параллельную BC. Снова получаем равный треугольник ARP, т.е. AR = 3 и RC = PQ = 3 (как стороны прямоугольника). Отсюда вся сторона AC = 6, и площадь 6•8/2. А ещё площадь можно найти не по формуле, а передвинув треугольник PQB, совместив его гипотенузами с треугольником ARP. Получим прямоугольник 6x4. Площадь= 24.

[ЛюдмилаКолосова-вр]

По св-ву биссектрисы АС=3х, АВ=5Х, по т.Пифагора Х в квадрате =4, Х=2, S= полупроизведению катетов, равна 24.

[P.S.Q.]

Обозначим биссектрису буквой Л. По формуле биссектрисы: Л^2= 3х*5х-3*5;
С другой стороны, биссектриса Л является гипотенузой прямоугольного треугольника АСК и является стороной АК, где Л^2=(3х)^2+3^2. Составляем уравнение: 3х*5х-3*5=(3х)^2+3^2.
15х^2-9х^2-24=0;
х^2=4; х=2.
Площадь S=1/2*3х*(3+5)=(3*2*8)/2=24

[ХанифАбдуллин-уь]

Пусть биссектриса делит угол на 2 равных угла a. Тогда tg a=3/x, tg2a=8/x . (здесь х=АС)
По формулам тригонометрии, находим тангенс двойного угла, и значение Х.

[NataliBoshkoizLugi]

Я сразу первым способом решила. Он очень простой, главное — не забыть свойство биссектрисы.

[pojuellavid]

уж не знаю, какой метод я увижу, но
чо тут думать -- принять боковой за 3 у.е, а гипотенузу -- за 5 у.е.
и как говорит Патриарх Геометрии -- "задача решена"
Ответ:24

[xyser-]

Я, как нормальный заводчанин, прикинул через тангенс двойного

[AlexeyEvpalov]

Треугольник в горошек MBK египетский (3, 4, 5). Он подобен большому MBK~ABC, по двум углам (90° и общий угол B). Отношение катетов это коэффициент подобия k=(3+5)/4=2, тогда AC=3×2=6, искомая площадь S=6×8/2=12.

[zawatsky]

Проводим МК, доказываем равенство треугольников, ВМК прямоугольный со сторонами 3, 4, 5. Проводим высоту из т. С, скажем, в т. Н. Получаем подобный Египет ВСН со сторонами 8, 8/5 от 3 и 8/5 от 4. Из св-ва высоты к гипотенузе прямоугольного мы знаем, что она отсекает больший подобный ему. Можно подоказывать, что большим является ВСН, но мне лень. Также можно доказать, что СВ - это сторона Египта, эквивалентная 4, но мне тоже лень. В общем, таким нехитрым способом доказываем, что АВС тоже Египет со сторонами 6, 8 и 10.

[rv]

А можно 2 метода объединить, тогда АВ, если туда из точки К опустить перпендикуляр, разделиться на 3х и 2х, а 2х=4, что следует из треугольника 3, 4, 5

[alexnikola]

так... ну Катя мне нравилась всегда больше... но не в этот раз... Никита рулит... обнаружил равенство треугов на ровном месте, молоток

[tatianatcherevik]

Мне подумалось, что лучше применить подобие треугольников в первом методе

[mikhailkadomtsev]

Египетский треугольник с катетами 8 и 6. Не смотрел ролик, поскольку просто надо знать теорему об отрезках, отсекаемых биссектрисой. Если не знать, но, наверное, придётся её сперва доказать. Поскольку все равно другого способа решить её я не вижу

[פאינהפרצב]

Подобие треугольников ACB, KMB в первом способе, сразу получаем АС=6

[tsaiis]

Приятная несложная задача. Пусть АС=х. Сл-но, х=3:tga, x=8:tg2a. 3/tga=8/tg2a. tga=1/2. AC=6. Sabc=24

[AndranikAdamyan-fb]

Вы так нас натаскали, что такие задачи в уме решаем.

[sparseremark]

AC=x
BC=8
AB=√x²+64 (т. Пифагора)
AK²=x²+9
AK²=l²=x√x²+64 -15
x√x²+64 -15=x²+9
x√x²+64= x²+24
x⁴+64x²=x⁴+48x²+576
x=±6
x=6
S=x*8/2=4x=4*6=24

[ВячеславФоминых-рг]

Если кмв египетский треугольник, значит и авс тоже.Они подобны по двум углам.А дальше все просто.