Решаем быстро и красиво ★ Уравнение четвертой степени ★ x^4+8x-7=0

@arinablog наш семейный канал

[АнтонАсташев-юи]

Тот случай, когда корень уравнения выглядит страшнее, чем само уравнение!

[cmcumm]

Всегда поражаюсь тому, как точно тебе хватает места на доске

[jockey]

Ну осталось проверить правильность решения, подставив корни в изначальное уравнение）

[РамзанЭльдаров]

А я уж стал думать, что подобный путь решения заведёт нас в дебри каких то нестандартных решений. Но всё обошлось, Вы справились как всегда великолепно.

[ВикторИванов-юю]

Красивое уравнение (именно своим ответом). Получить ТАКОЙ ответ не по готовой формуле, а применив какую-либо идею - это КРАСИВО (ибо обычно, когда нет готовой формулы идеи исходят из простых корней; среди делителей свободного члена и т.п.).

[toparbitr]

Всегда получаю огромное удовольствие от решений Валерия Волкова. Предельно рационально, конкретно и креативно. Без бесконечных переписываний очевидных преобразований и ссылок на азы и банальности, без знания которых не следует и приступать к решению предлагаемых задач. Всегда -лайк и рекомендации знакомым.

[ИльяКобзев-йы]

Здорово, конечно, но обычно мы избавляемся от иррациональности в знаменателе, а здесь наоборот))) По мне ответ от этого лучше не стал.

[AlexeyEvpalov]

Удачное разложение на множители. Спасибо за быстрое решение.

[kolesov]

0:38 Почему так? Почему второе слагаемое не равно двойке или корню из трёх плюс пять? По хорошему счёту, надо писать так:
[ x^4 + 2*a*x^2 + a^2 ] + 8*x - 7 - 2*a*x^2 - a^2 = 0, откуда требуем, чтобы
x^2 + 8*x/2/a + (a^2+7)/2/a
было полным квадратом. Это требование даёт следующее уравнение:
a^3 + 7*a - 8 = 0.
И вот только теперь можно сказать, что a = 1 есть очевидный корень этого уравнения (а могло бы не повезти, и по формуле Кардано бы корни искали).

[nominaobscura]

А когда я был маленький, нам говорили, что как раз нужно избавляться от иррациональности в знаменателе 🤷‍♂️

[ajdarseidzade]

Действительно красиво! Три. Четыре. Пять.

[ЛимонадДюшес-хб]

Спасибо, очень занимательно. Уже забыл что такое дискриминант ))

[rejeporazmetow]

Вот это я понимаю. Здорово. Спасибо. Мне очень понравилось решение.

[nickmakarov]

Шестьдесят лет назад, когда я так мутно решал подобные задачи, учитель математики мне говорил: "А теперь зачеркни и реши просто и красиво." Автор даю подсказку: 7 перенесите в правую часть, в левой вынесите Х и разложите сумму кубов, а далее получите решение из условия, что слева произведение трех сомножителей, а справа простое число.
Если будут трудности - пишите.

[ЕвгенийПопов-хе]

Спасибо. Очень просто и понятно объяснено.

[ilhamqurbanov]

Привет Валерий. Отличное решение. Спасибо вам.

[Alexander--]

В общем случае: x⁴ + px + q = 0
Соберём при x⁴ полный квадрат, прибавив и отняв 2kx² + k², где k пока произвольное:
x⁴ + 2kx² + k² - 2kx² - k² + px + q = 0
(x² + k)² = 2kx² - px + k² - 4q
Левая часть - полный квадрат. Чтобы и правая часть была полным квадратом, подберём такое k, чтобы её дискриминант был равен нулю:
D = p² - 4*2k(k² - 4q) = 0, откуда после упрощений:
8k³ - 8kq - p² = 0
Данное уравнение является кубическим относительно k. Посмотрим, нельзя ли в нашем случае решить его более просто:
При p = 8; q = -7 получаем:
8k³ + 56k - 64 = 0
k³ + 7k - 8 = 0
В данном случае один корень легко угадывается: k = 1.
Дальнейшее просто.

[ЯшинРаушанов]

Даже если проверить корни уравнения, подставив, думаю займет не мало времени.

[АлексейФролов-щв]

"Все красиво, все у нас красиво... Подивись направо, подивись наліво..."

[Антипко]

Специально перепроверил в экселе и получил ноль. :)))