08. Demostración por inducción: 8^n - 3^n es divisible por 5

En este video demostraremos un teorema de la Teoría de números, que la diferencia de potencias de 8 y 3 es un múltiplo de 5, utilizando el principio de inducción matemática, paso a paso. Para ello establecemos una base de inducción, y luego una hipótesis de inducción, para después demostrar la fórmula.
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[emanuelgonzalezcanon]

muchas gracias matefacil!! esto me ayudo a hacer mi tarea facilmente, gracias.
:D

[SoyFerchow]

Toca esperar esta joyita de demostración :D

[julian-neoi]

Profe, tengo una contradicción por inducción si le interesa demostrar en algún vídeo, del libro "¿Que es la matemáticas?" De Richard Courant

[eduardoangel]

Me gustó! Sólo agrego que hubiera sido más elegante decir que a todo múltiplo de 5 podemos expresarlo como lambda*5 (para algún lambda entero) y terminar la demostración llegando a una expresión de esa forma.

[julian-neoi]

Demostración por inducción

Demostrar que 8^n-3^n es divisible entre 5
1) Supongamos que es cierto para todo r
(1)Entonces 8^r-3^r es divisible entre 5
Así para r = 1;
8^1-3^1 = 8 - 3 = 5; y 5 es divisible por si mismo, así que cumple el enunciado
2) Para r+1:
8^(r+1) - 3^(r+1)
Por ley de los exponentes se puede reescribir como:
8*8^r-3*3^r; teniendo en cuenta que 8 = 5 + 3, podemos decir que:
(5+3)*8^r- 3*3^r
5*8^r+3*8^r- 3*3^r
Factorizando tenemos:
5*8^r+3*(8^r- 3^r)
Así que terminamos con dos términos.
Para el término de la izquierda al ser multiplicado por 5, ya es múltiplo del mismo.
Y para el término de la derecha, cumple la suposición r-esima del del enunciado (1), así que también es divisible entre 5.
Por lo que al tener ambos términos siendo divisibles entre 5, el número r - esimo, va a ser divisible entre 5.
Q.E.D.

[eduardoflores]

Hola, me podrían ayudar, no puedo pasar de esta parte de este ejercicio de verificación de trigonometria
__Cosa__ + __Cosa__=2Seca
1-Sena 1+Sena

[Эдуардо.Больлощинов]

Muito obrigado!

Saludos de Brasil!

[carloscamacho]

Hey buen vídeo, yo traté de hacerlo antes de ver y me dió lo siguiente, ¿es correcto? :
8^k*8-3^k*3
= 8^k*(5+3) - 3^k*(5-2). Puse el 8 y el 3 como si fuesen una operación que contine el 5.
= 5(8^k + 3 -3^k -2). Saco factor común, que sería el 5.
= 5(8^k -3^k + 1). Opero el 3 y el 2 que había dentro del paréntesis.
= 5(dk+1). Dk es la hipótesis, la cual es divisible por 5, aunque, automáticamente como el factor es 5, todo numero multiplicado por él será múltiplo y, por lo tanto, divisible en él.

[casteg]

Hola, yo tengo una pregunta, si entendi esta explicación pero se hace mucho más dificil si se le agregan más elementos en la ecuación, un ejemplo puntual sería el ejercicio que estoy realizando que no he podido hacer, dice así:

10^(n+1)+11^(n) +3*10^n -2^n+5 es divisible por 9.... Como se ve hay un +3 y cuando hago la parte de la fatorización no se como hacer para que me quede la hipotesis... Me podría ayudar porfa

[ImNexusGamer]

me hace acordar a mis temas de matematica 1 o el precalculo

[marialauranavarro]

Hola y como seria la demostración : Sea n natural. Demostrar que 10 | 7^n-3^n para todo n par.

[ritamabelrodriguezsandoval]

¿Es 25 + 1
^n+ 3n divisible por 3? Me podría ayudar con este ejercicio

[Manuel_Gestal]

8^n - 3^n es divisible por 5 ∀n, a∈N
Las potencias de 8 siguen siempre la misma sucesión de terminaciones

Por ej: 8^2=64 8^3=512 8^4=4096
8^5=32768 y 8^6=262.144
Las potencias de 3 siguen siempre la misma sucesión de terminaciones
9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3....
Por ej: 3^2=9 3^3=27 3^4=81 3^5=243
y 3^6=729 ....

Por reglas de divisibilidad 5a ∀a∈N siempre va a terminar en 0 o en 5, por tanto cualquier número que termine en 0 o en 5 es divisible entre 5.

Obsérvese que, al calcular el valor absoluto de la resta de las sucesiones anteriormente mencionadas, es decir su distancia en la recta real, siempre se obtiene 5.

4, 2, 6, 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 6, 8
9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3

|4-9|=5 |2-7|=5 |6-1|=5 |8-3|=5

Por tanto queda demostrado que
8^n-3^n= 5a ∀n, a∈N
Q.E.D (Quod erat demonstrandum)

[marii]

como se podria demostrar que n^3 - n seria divisible entre 3

[chemss]

como te amo cabron me salvaste del parcial

[cardieel]

Se puede demostrar fácilmente mediante congruencias y el pequeño teorema de Fermat xD

[guill]

No es cierto, cuando n vale la unidad imaginaria i el resultado no es divisible entre 5.