ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ДВЕ БИССЕКТРИСЫ. ШИКАРНАЯ ЗАДАЧА!

ABCD - параллелограмм, AD=8, AB=6. AK - биссектриса его угла A, DM - биссектриса его угла D. Найти длину отрезка MK.

[otprot]

В домашнем задании Sакд=3*5*1/2=7, 5 ✅
поскольку биссектрисы "соседних" углов параллелограмма всегда пересекаются между собой под прямым углом (сумма соседних углов параллелограмма всегда равна 180°, а сумма половин этих углов всегда равна 90°. Поэтому в ∆акд сумма углов А и Д равна 90° и следовательно угол К=180-90=90°), поэтому треугольник АКД прямоугольный с катетами равными 5 и 3 и тд. 🧨💥

[ОлегСабенников]

Тривиальная задача. Из отсечения биссектрисами равнобедренных треугольников имеем (6-х)+х+(6-х)=8, откуда х=4

[Медицинскаямнемотехника]

д/ 3 треугольник AKD прямоугольный так как сцмма углов при основании 180 градусов(2x+2y), то x+y=90, следовательно другой угол прямой, площадб находим как половину произведения катетов= 7, 5

[stanislavfalkovich]

В задаче я продлил биссектрисы и до пересечения с продолжениями сторон. Например, АВ и DМ пересекаются с точке Р, тогда треугольники АРD и ВРМ подобны, откуда ВМ равна 2. Аналогично КС тоже 2, тогда МК = 8 - 2 - 2 = 4. А в ДЗ биссектрисы перпендикулярны.

[Neva]

1. Строю прямоугольник со сторонами 6 и 8, получаю Х=4 ))
2. Из точки пересечения биссектрис (О) опускаем медианы на стороны АД (допустим Н) и МК (Р). Они будут лежать на одной прямой и эта прямая параллельна боковым сторонам. Доказывается через равные углы, которые являются накрест лежащими. Медиана равна половине гипотенузы. Значит медиана опущенная к АД равна 4. Стало быть кусочек, опущенный на МК = 2, т.к. боковая сторона 6. Прямоугольные треугольники, образованные биссектрисами подобны. С коэффициентом подобия - 2. Отсюда, МК=АД/2=4

[ВоваЦыганов-ов]

В любой трапеции биссектрисы перпендикулярны.
Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы.
8:2=4
6-4=2
2*2=4

[antonpankrat]

достраиваем параллелограмм до равностороннего ( AB1C1D ) получим ромб. диагонали ромба и есть наши биссектрисы. Проводим линию A1D1 параллельно AD через пересечение диагоналей ромба (пусть пересечение будет Р). Тогда получим пару треугольников A1B1P и D1C1P. В этих треугольниках BM и KC режут их пополам, отсюда выясняем что их длины по 2. значит МК =4.

[ruzannakasparova]

Из точки K проводим прямую параллельную AB до пересечения с AD в точке K1- получаем ромб ABKK1; AK1=6 ; K1D=2; затем из т-ки М проводим параллельную CD до пересечения с AD в точке M1- получаем ромб ABMM1; AM1=2, в итоге МК= 8-(2+2)=4

[serjikseriy]

У вас вообще все здорово. Но, домашнее задание слишком простое. Вонятно, что угол АКД прямой. Соответственно площадь равна.3×5=15. Кстати, если этот фактор учитывать в исходной задаче, то лна решается несколько быстрее. Спасибо.

[КонстантинВинников-рб]

Ничего нового, это уже решали раньше, через равные углы. Оба треугольника, образованного пересечения ми биссектриса являются равнобедренными, со сторонами, равными 6, только углы их в сумме составляют 90°, так как биссектриса пересекаются под этим углом. Значит, отрезок в середине равен половине второй стороны, то есть 4.

[valeraag]

Математика понимается через задачи. Очень хороший канал для начинающих, которым нравится математика, но ещё пугают её сложности.
ДЗ. По св-ву пар-ма смежные углы равны 180⁰, <А + <Д = 180⁰, 1/2 <А + 1/2 <Д = 90⁰. Тогда <К = 180⁰ - 90⁰ =90⁰. Sакд = 1/2 • АК • КД = 1/2 • 5 • 3 = 7, 5. Sакд = 7, 5.

[antonpankrat]

ДЗ. достраиваем параллелограмм до равностороннего ( AB1C1D ) получим ромб. диагонали ромба и есть наши биссектрисы. Диагонали в ромбе перпендикулярны отсюда Sakd =7.5

[Медицинскаямнемотехника]

получилось 4, поставил на паузу, зная что биссектриса отсекает равнобедренные треугольники

[lonwyislusty]

Дз: если провести в AKD медиану, у нас будут два одинаковых ромба( BK=KC=CD=1/2AD=X). И если в одном из них провести еще одну диагональ, выйдем на то, что сумма синего и зеленого углов = 90 градусов ( диагонали взаимноперпендикулярны и есть биссектрисами в ромбе). Sakd= 1/2 ad*kd = 7.5 кв. единиц . S abcd= 2*Sakd= 15

[ВераДмитриева-ьы]

Очень интересные задачи ( домашнее задание тоже имею ввиду)!

[ИванСтаров-ых]

Д/з SAKD равна 7, 5 . Решал через ромбы.

[sergeygaus]

АКД прям.тр-к. площадь 3х5/2, т.е 7, 5

[ВадимАнисимов-ен]

А если продлить биссектрисы и построить ромб, а потом доказать что Х средняя линия треугольника и равна половине основания?
ДЗ: бисектрисы перпендикулярны, значит площадь половина произведения их длин.

[pojuellavid]

Гы
Вы тоже думали, что решается подобием и коэффициентом?
Перед носом два равнобедренных преугольника с боковушками 8. Откуда х=(6+6)-8=4
Суть. ВК=6=МС. Сложим два отрезка, получим 12. Эта сумма состоит из ВМ, КС по одному разу и МК -- дважды. Если удалить все отрезочки по одному разу (ВМ+МК+КС=8) останется МК=х= 12-8=4