[DET#3] Formule du binôme de Newton (Démonstration)

Dans cette émission, je présente une démonstration, qui s'appuie sur un raisonnement par récurrence, de la formule du binôme de Newton. Dans cette histoire, le relation du triangle de Pascal, qui a été démontrée dans l'émission précédente, est un argument essentiel.

📝 La démonstration réalisée ici fait partie des 12 démonstrations proposées dans les nouveaux programme de terminale, mathématiques expertes, enseignement complémentaire, voie générale.

🎥 Émissions connexes:

 ✒️ Notions abordées: raisonnement par récurrence, coefficients binomiaux, relation du triangle de Pascal, formule du binôme, manipulation de sommes finies.
🌞 Bonne écoute !

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[DanielBWilliams]

Mon professeur de L1 m'avait illustré ça avec un arbre de probabilité :

(a+b)³ par exemple, ses termes sont de la forme x*y*z où x y et z sont dans {a;b}, et on va retrouver tous les produits de cette forme. Choisir un des termes de (a+b)³, c'est piocher une lettre parmi a et b, puis une deuxième lettre parmi a et b, puis une troisième lettre parmi a et b.

Mais comme la multiplication est commutative, l'ordre dans lequel on les a pioché n'a pas d'importance.

Par exemple, pour tomber sur a²b, il faut avoir pioché à un moment deux a et un b.
Combien y a-t-il de tels possibilités ? Il y en a (2 parmi 3), si on assimile "piocher a" à un succès, et "piocher b" à un échec.

Donc le terme a²b va se retrouver (2 parmi 3) fois.

Et donc ce raisonnement combinatoire explique intuitivement pourquoi cette formule est vraie, mais bien évidemment, il faut une démonstration comme celle de la vidéo pour avoir quelque chose de rigoureux.

Encore merci pour cette vidéo de qualité !

[lenysituation]

Cette chaîne devrait être rémunérée par l’éducation nationale, mes kholles sauvées par ces vidéos merci ❤️

[mauriciolirreverencieuxaud]

Bonjour Oljen, mon prof m'a dit que l'on peut démontrer le binôme par Taylor Young, est-ce vrai ?
(D'ailleurs j'ai l'impression qu'une vidéo sur ve sujet a déjà été faite, et que j'avais commenté la ptentielle existence de cette fameuse démonstration que je ne connaissais pas encore.)

[smartcircles]

Bonjour je voudrais savoir si il est possible de faire autre chose que distribuer brutalement a l hérédité

[erenksng]

Bonjour, comment savez-vous que "0 parmi 0" vaut 1 ? Dans certains cours on dit que c'est une convention, mais n'y a-t-il rien d'autre derrière ?

[loicgeeraerts]

Est-ce que quelqu'un à une référence de preuve du binôme de Newton sans récurrence ?
En particulier, j'aimerais savoir comment Newton (si c'est lui qui l'a effectivement trouvée) a fait pour trouver cette formule. D'avance merci.

[leonlafosse]

Mon professeur a dit qu'il allait nous faire la démonstration du binôme avec les matrices, il a dit qu'il refusait de faire par récurrence, est ce que c'est possible ?