Иррациональность sqrt2

Доказать, что sqrt2 иррациональное число.
Индивидуальные занятия по Скайпу для школьников, студентов, учителей, репетиторов. ЕГЭ, ОГЭ, высшая математика. Начальный уровень значения не имеет.
Видеорешебник задач здесь:

[pavelusenko]

В свое время удивляло следующее: корень из 2 - иррациональное число с "бесконечной" записью. А "пощупать" его легко: это диагональ квадрата со стороной 1см. Одним словом: прикоснись к бесконечности)

[aristotle]

Расскажите, пожалуйста, про целую и дробную часть числа, уравнения с ними.
Ещё интересна тема с функциональными уравнениями и теорией чисел.
Если кому-то тоже это интересно, ставьте лайк

[iviltri]

Это самое красивое, короткое и понятное объяснение! Браво

[victor]

А вы бы не могли рассказать, как доказывают иррациональность чисел. Какие приемы существуют. С простыми примерами типа этого все понятно, но как доказывать иррациональность более сложных чисел.

[markmark-zcjn]

Ни х.я непонял, но было очень интересно

[fjhgxpd]

Если исходить из предпосылки, что p/q - несократимая дробь и p и q - натуральные Ч, то они либо простые, либо являются произведениями несовпадающих сомножителей. Их квадраты также будут состоять из удвоенного количества тех же сомножителей и p^2/q^2 - также несократимая дробь и не может быть равно целому числу (в частности, двум).

[hawkeyes_]

Вопрос по второму примеру. Решил проделать аналогичные действия для числа, рациональность которого заведомо известна. Выбрал корень из четырех. Получилось, что и m и n - это числа кратные четверке, а значит дробь сократимая, то есть я пришел к тому же противоречию, к которому пришли и Вы, но для рационального числа. Объясните, пожалуйста, в чем ошибка

[Sevenvad]

Я думаю, можно было бы закончить на том, что корень из двух оказался равен дроби 2m/2n, КОТОРУЮ МОЖНО СОКРАТИТЬ.

[steeeeeeeeeeep]

Пытался таким же образом доказать только что, что 2 иррационально, получилось что п/к=2м/м=2, тут, конечно, сократилось, но я пришёл к изначальному утверждению. Видимо, это значит, что моё утверждение неверно.

[ewgeniypanarin]

Здравствуйте. Скажите пожалуйста. То есть можно утверждать, что если квадрат числа -число чётное, то и основание степени четное ?

[rockmaple]

Комментарий для продвижения за счёт активности

[KamalYT]

Я одного не понимаю. Зачем предоставить в виде нескор. дроби? Это правила такое или как?

[alexeidubrovin]

Что вы все время иррациональность разных корней доказываете, из теоремы о рациональных корнях многочлена однозначно следует что корень вообще любой степени из любого натурального числа это либо натуральное число, либо иррациональное, никаких рациональных чисел там вылезти не может, всё )

[galikRESH]

А почему корень из 2 не равен m/n? Я просто недопонимаю в чем тут проблема

[Galaxy-]

А есть какой-то другой способ доказать это? А то во всех источниках один и тот же метод.

[zrtqrtzrt]

В своё время Пифагор был поражён существованием иррациональных чисел и в частности √2, т.к. по теореме Пифагора получается, что гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами равными 1 равна √2 и при этом √2 не представляется в виде рациональной дроби. До этого древние греки были уверены, что все числа можно представить в виде отношения двух натуральных чисел.

[galikRESH]

-2²=4, квадратный корень из 2 не обязательно положительный

[renaibrahimova]

Пятый раз уже слушаю и ничего не понятно

[wepnfyi]

Из чего следует первое допущение, что любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби, а любое иррациональное нельзя?

[michaelkopylov]

Можно и проще. Рациональные числа - это конечные и бесконечные ПЕРИОДИЧЕСКИЕ десятичные дроби. Например, 1/2 = 0, 5 - это конечная дробь, 1/3 = 0, 333...=0, (3) - бесконечная периодическая с периодом 3. Ну а корень из 2 - это 1, 4142..., которая будет являться бесконечной НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ, которая будет иррациональным числом.