Binomische Formeln verstehen || Klasse 9 ★ Wissen

Das Ausmultiplizieren von Klammern mit einer bestimmten Struktur kann mit den binomischen Formeln durchgeführt werden. Dafür müssen die Zahlen bzw. Variablen innerhalb der Klammern übereinstimmen. Die Vorzeichen innerhalb der Klammern können unterschiedlich sein und es ergeben sich mit verschiedenen Kombinationen die drei binomischen Formeln:
(a+b)^2=(a+b)∙(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=(a-b)∙(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)∙(a-b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2- b^2
Das Multiplizieren einer Klammer mit sich selbst, kann ebenfalls als Quadrat geschrieben werden.

Jonas: „Der Pool vor dem Hotel soll demnächst auf 49 Quadratmeter vergrößert werden. Dabei soll die Grundfläche quadratisch bleiben. Zurzeit hat der Pool Seitenlängen von 5 Metern.“
Steffen: „Um wie viele Meter müssen die Seiten dann vergrößert werden?“

Um die neuen Seitenlängen zu bestimmen, musst du zunächst die Gleichung für den Flächeninhalt eines Quadrats aufstellen. Dieser berechnet sich aus dem Quadrat der Seitenlänge, da alle Seiten gleich lang sind. Die neue Seitenlänge setzt sich dann aus den 5 Metern und der Verlängerung x zusammen. Mathematisch kannst du schreiben:
A_Pool=(5+x)∙(5+x) oder auch A_Pool=(5+x)^2
Dabei handelt es sich um die erste binomische Formel:
A_Pool=(5+x)^2
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
A_Pool=(5+x)^2= 5^2+2∙5∙x+x^2=25+10x+x^2
Der Pool soll eine Grundfläche von 49 Quadratmetern besitzen, also kannst du als Gleichung schreiben:
A_Pool=25+10x+x^2=49
Diese Gleichung kannst du aber mit den bekannten Rechenschritten nicht auflösen.
Du kannst dir aber überlegen, wie groß die beiden Seiten sein müssen, indem du die Quadratwurzel der Zahl 49 berechnest.
Ein Trick hilft dir aber, die Gleichung zu lösen. Du nimmst die ursprüngliche Form der binomischen Formel und ziehst daraus die Wurzel. Dabei verschwindet das Quadrat und du kannst die Gleichung ganz einfach lösen.
(5+x)^2=49 |√
5+x=7 | -5
x=2

Steffen: „Jede Seite muss also um 2 m verlängert werden, damit eine Grundfläche von 49 Quadratmetern entsteht.“