Can You Prove: 𝒂^𝟐+𝒃^𝟐−𝟖𝒄=𝟔 Has No Integer Solution | Olympiad Math

We prove this proposition by contradiction.

[mtz-]

Soit (a, b, c)∈ℤ³, on suppose que a²+b²-8c=6
on a: a²+b²= 6+8c
alors: a² + b²= 2(3+4c)
Donc: a² + b² est paire
alors:
(a² et b² sont paires) ou (a² et b² sont impaires)
donc:
(a et b sont paires) ou (a et b sont impaires)

*1ère cas:
a et b sont paires, alors:
∃(n, m)∈ℤ² / a=2n et b=2m

a²+b²=2(3+4c)
⇒(2n)² + (2m)² = 2(3+4c)
⇒4n² + 4m² = 2(3+4c)
⇒n² + m² = 3/2 + 2c absurde!!
car (n²+m²)∈ℤ et (3/2 + 2c)∉ℤ

*2ème cas: a et b sont impaires
donc: ∃(n, m)∈ℤ² / a=2n+1 et b=2m+1

a²+b²=2(3+4c)
⇒(2n+1)² + (2m+1)² = 6+8c
⇒4n² + 4n + 1 + 4m² + 4m +1=6+8c
⇒4n²+4n+4m²+4m=4+8c
⇒n² + n + m² + m = 1 + 2c
⇒n(n+1) + m(m+1) = 1 + 2c absurde!!
Car: n(n+1) est paire et m(m+1) est paire
donc: n(n+1) + m(m+1) est paire
mais 1+2c est impaire
un nombre paire ≠ un nombre impaire

---
D'où:
∀(a, b, c)∈ℤ³: a²+b²-8c ≠ 6

[shahbazhussain]

I may be wrong but isn’t simply 8c+6 can never give a perfect square with c being an integer is the soln?