Неравенство о средних | Ботай со мной #048 | Борис Трушин !

#БотайСоМной #048
Неравенство о средних (неравенство Коши)
- среднее арифметическое
- среднее геометрическое
- среднее гармоническое

Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть C (задания 13-19):
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть B (задания 1-12):
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике:
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике:

[ИванЖарский-кэ]

Это восхитительно! Бальзам для мозга))

[ilyavostretsov]

Какое же это удовольствие, когда сначала непонятное начинаешь осознавать в понятное)

[ikorokor]

Уважаемые Борис Викторович и зрители!
04:24
ab = cd - согласен. Но почему a = b & c = d ?
Это следовало бы из того, если бы (a + b) / 2 = (a * b) ^ (1/2) & (c + d) / 2 = (c * d) ^ (1/2).
Но разве мы утверждаем, что это так? Или этот факт следует из чего-то другого?

Вы говорите об индукции для степеней двойки. Индукция предполагает, что утверждение верно для 2^n. А каким образом мы докажем, что из этого следует, что верно для 2^(n+1).
Думается, строгое доказательство значительно сложнее.

11:01
Из рассмотрения случая d = (a + b + c) / 3 мы можем заключить лишь то, что это верно для случая, когда d зависит от (a, b, c) таким образом, что далеко не всегда так.
Например, мы не сможем сопоставить (a, b, c, d) такому набору чисел: {1, 1, 1, 10}.

[ИванГорбунов-щб]

Борис Викторович, давайте еще какую-нибудь задачку по планиметрии, которую можно решить 5-ю способами?))

[brain_lord]

Очень здорово! Лайк, хотелось бы ещё увидеть доказательство общего неравенство, про которое говорили. Где неравенство k-ой степень больше если k больше. И про среднее геометрическое там

[nobrainnogain]

БВ, а расскажите как-нибудь, про нер-во о средних, только док-во через теорему Йенсена с центром масс, там тоже очень круто.

[victornovik]

Борис, большое спасибо за математические ликбезы!

Можно, подкину пару тем для будущих роликов
1. А как доказывается, что любое среднее степенное степени N ≤ среднего степенного степени M, если N < M
2. Как доказать, что среднее степенное степени 0 сводится к формуле среднего геометрического?
3. Как доказать, что среднее степенное степени -1 сводится к формуле среднего гармонического?

[mykolagirnyi]

Только недавно, решая олимпиаду, впервые наткнулся на использование неравенств о средних. И сразу Ваше видео тут как тут. Не канал, а просто чудо! Ещё мне интересно как можно запомнить или вывести тринометрические тождества, или как решать тригонометрические равенства и неравенства. Короче не дается мне тригонометрия...)

[alexandergretskiy]

У Волкова тоже хорошее доказательство с помощью мат. индукции, но ваше изысканнее! (у слова "халява" много значений, поэтому я его не употребляю). Спасибо.

[математика-еб]

Борис сен өте мықтысың анық әрі нақты тамаша рахмет

[sergzelin]

Интересно, есть простое доказательство, что из a>b >0 и m>n >0 следует, что
((a^m+b^m)/2)^(1/m) >((a^n+b^n)/2)^(1/n)

[aidarNCh]

4:25 подскажите пожалуйста, почему из равенства ((a+b)/2) + ((c+d)/2) = sqrt(ab) + sqrt(cd) следует что a = b и c = d?
Как-то не очень очевидное следствие.

[wishmaster]

по методу мат индукции так сказать и всё

[loypaka]

Борис Викторович, а можно ли это доказать через трапецию из прошлого видео на эту тему?

[antonkamushkin]

Здравствуйте, Борис Викторович!
Я не понимаю, если мы доказали, что это верно для d, равное среднему арифметическому или среднему геометрическому, то почему это верно для произвольного d?

[ДмитрийПолозов-фс]

Борис Викторович, здравствуйте! Вопрос, конечно, не по теме, но все же. Сегодня ездил на апелляцию по краевому этапу Всероса (2 балла до призёра не хватало), и увидел, что в одной из задач запись a ≡2 1 мне исправили на а ≡ 1 (mod 2), но баллы, слава Богу, не сняли. Хотелось бы узнать, как вы считаете, обе ли формы записи имеют право на жизнь, и, если нет, то какая из форм записи более корректна. Заранее спасибо)

[Артем-сую]

Борис Викторович, а как доказать для n чисел, что равенство достигается, когда все числа равны?

[alexiskra]

А если рассмотреть случай когда d не равно (a+b+c)/3?