Supremum and infimum

شرح بالعربى للمفاهيم المتعلقة بال Supremum and infimum

Let X be a partially ordered set and S ⊆ X be a subset. (For example, X = R.)
• An upper bound for S is an element U ∈ X such that x ≤ U for all x ∈ S.
If S has an upper bound, we say that S is bounded above.
• A lower bound for S is an element L ∈ X such that L ≤ x for all x ∈ S.
If S has a lower bound, we say that S is bounded below.
• We say that S is bounded if S is both bounded above and bounded below.
• The supremum of S, denoted sup S, is the least upper bound of S (if it
exists). That is, if M = sup S, then M is an upper bound for S and
M ≤ U for any upper bound U for S. If S is not bounded above, then we
say that sup S does not exist.
• The infimum of S, denoted inf S, is the greatest lower bound of S (if it
exists). That is, if m = inf S, then m is a lower bound for S and L ≤ m
for any lower bound L for S. If S is not bounded below, then we say that
inf S does not exist.
• If S is bounded above, M = sup S exists, and M ∈ S, then we call M the
maximum of S and may denote it max S. Otherwise, the maximum of S
does not exist.
• If S is bounded below, m = inf S exists, and m ∈ S, then we call m the
minimum of S and may denote it min S. Otherwise, the minimum of S
does not exist.
The least upper bound property (LUBP) for R is the statement that every nonempty subset of R which is bounded above has a supremum, and it is taken as
(one form of) the completeness axiom for the real numbers.

نقول ان الدالة محدودة إذا كان لها حد علوي وحد سفلي. قبل البدء في البحث ما إذا كانت الدالة محدودة أو لا لابد ان تكون الدالة Aغير خالية ثم نبدأ في البحث عن حدود الدالة: • نقول عن الدالة Aانها محدودة من أعلى إذا وجدنا عدد ويحقق a≤u , , بالتالي نقول عن u انه حد علوي . • نقول عن الدالة A انها محدودة من أسفل إذا وجدنا عدد ويحقق v≤a , بالتالي نقول عن v انه حد سفلي . إذا كانت الدالة غير خالية وتحقق الشرطين السابقين نقول أن الدالة محدودة 1- الحد السفلي الحد السفلي لأي دالة بحيث A غير خالية ونجد عنصرi بحيث أن a∈A∀ i ≤a مثال:( A=(5,8 4 هو حد سفلي لـ (5.8) لأن 4≤a .

2-الحد علوي الحد العلوي لأي دالة بحيث a ∈A ∀ u ≥a, في المثال السابق نجد ان : 9 هي الحد العلوي لـ (5,8) لأن 9≥a

• إذا كانت المجموعة A معرفة بحيث وجدنا عدد واحد على الأقل يحدها من أعلى إذا نقول ان A محدودة من أعلى . • إذا كانت المجموعة A معرفة بحيث وجدنا عدد واحد على الأقل يحدها من أسفل إذا نقول ان A محدودة من أسفل .

'''اصغر الحدود العليا (supremum)''' إذا كانت A محدودة من أعلى نقول عن u انه أصغر الحدود العليا إذا تحقق الشرطين التاليين : 1. U حد علوي في A بحيث أن u≥A 2. ليكن أي حد علوي , لابد أن يتحقق u≤v أي أن u أصغر الحدود العليا .

'''أكبر الحدود السفلى (infimum)''' إذا كانت A محدودة من أسفل نقول عن w انه أكبر الحدود السفلى إذا تحقق الشرطيين التاليين : w حد سفلي في A بحيث أن w≤A ليكن t أي حد سفلي . لابد ان يتحقق w≥t أي أن w أكبر الحدود السفلى .

▪ يشترط ان يكون الحد العلوي الأصغر وحيد بحيث إذا وجد أن u1 اصغر الحدود العلوية و u2 أيضاً اصغر الحدود العلوية , هذا يعني ان u1 = u2 وبالمثل مع الحد السفلي الأكبر .

▪ ليست جميع الدوال محدودة وكذلك ليست جميع الدوال محدودة من اتجاهين فالبعض منها تكون محدودة من أعلى فقط والبعض تكون محدودة من أسفل فقط .


problem solving with Integration
practice with Integration
Integration
supremum and infimum
Integration
supremum and infimum problem solving
problems about Integration
supremum and infimum problems
محاضرات باللغة العربية لتعليم التكامل
supremum and infimum tutorials
supremum and infimum lectures in Arabic
programming lectures in Arabic
supremum and infimum tutorial
supremum and infimum tutorials
supremum and infimum for beginners & advanced Integration
Integration
تكامل
supremum and infimum
supremum and infimum lectures in Arabic
supremum and infimum lectures in Arabic
supremum and infimum tutorial
supremum and infimum tutorials
supremum and infimumشرح
شرح Integration
supremum and infimumعربي
عربي Integration
supremum and infimumدورة
دورة Integration
supremum and infimum
supremum and infimumدرس
supremum and infimumدروس
درس Integration
دروس Integration
supremum and infimumمحاضرات
محاضرات Integration
supremum and infimumتعلم
تعلم Integration
supremum and infimumتعليم
تعليم Integration
supremum and infimumللمبتدئين
للمبتدئين Integration
supremum and infimumبالعربي
بالعربي Integration
supremum and infimumشرح عربي
شرح عربي supremum and infimum

[tahanyal-harby.]

الله يسعدك على الشرح الجميل شكراً من القلب ❤️👏🏻