Сложная задача на движение об автомобилях и возах из книги академика Владимира Арнольда

Из города A в город B ведут две непересекающиеся дороги. Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам из A в B и связанные верёвкой некоторой длины, меньшей 2l, смогли проехать из A в B, не порвав верёвки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два воза радиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг другу?
Автор задачи — Н. Н. Константинов. Задача опубликована в книге В.И. Арнольда "Обыкновенные дифференциальные уравнения", Москва, 1975.
Для решения задачи введём в рассмотрение для каждого из четырёх объектов функцию, зависящую от времени, значение которой в момент времени t равно расстоянию от объекта до пункта A по той дороге, по которой он передвигался. Если мы приравняем x и y функции, соответствующие автомобилям, то получим параметрические уравнения некоторой кривой в прямоугольной системе координат Oxy. Аналогичную кривую можно получить и для возов. Из предположения, что возы смогут разминуться, не коснувшись, следует, что эти две кривые пересекаются. Это означает, что в некоторый момент времени возы займут те же положения на дорогах, которые раньше занимали автомобили. Но такого быть не может, т. к. в этот момент времени расстояние между центрами возов было бы меньше 2l, что невозможно физически. Таким образом, упомянутое выше предположение неверно и возы разминуться, не соприкоснувшись, не смогут.

[СергейМациевский-ес]

Все новые обозначения неудачные, только запутывают.

[boguraevmv]

Благодарю Вас.
Ваше объяснение вполне развёрнуто и понятно.
В книге Арнольда довольно запутано решение. Особенно пугает фраза "рассмотрим квадрат М". Почему сразу квадрат, а не круг? Второе, что сбивает с толку - это х1 и х2 находящиеся в пределах от нуля до единицы. После пятого прочтения начинаешь соображать, что квадрат потому, что объектов два, а х1 и х2 это часть пути.
А вот почему у Арнольда на рисунке есть самопересечение функции автомобилей, которые вдруг становятся экипажами по ходу доказательства, что тоже не способствует пониманию, остаётся загадкой.
Вы отрицаете возможность самопересечения, а в решении Арнольда оно есть.

[michaelsadovsky]

"Некто Н.Н.Константинов" -- не некто, а весьма выдающийся педагог. Николй Николаевич -- изобретатель и многолетний организатор "Турнира городов"

[janisberzins]

Horošeje matematiceskoje rešenije A po prostomu : Jesli vo vseh punktov rasstojanije meždu 2mja dorogami menše 2L to vozi, u kotorih rastojanije v punkte vstereči = 2L konečno kosnjotsja drug druga !!!!

[mugsinua]

мы взяли пример с плоскими линиями но дороги не плоские линии а трехмерные

[romank.]

Интересно, а сколько пересечений может быть у кривых? Одно - точно, а больше можно? Или тот факт, что производная первой кривой положительна, а второй - отрицательна, даёт единственность решения?

[ruFixRedRuSian]

Для меня такое решение сильно запутывает. Надо проще подходить. Представим первый случай. Дороги ровные и параллельные. Если автомобили движутся с дистанцией друг относительно друга вдоль направления движения, то поперечное расстояние между дорогами стремиться к нулю тем сильнее, чем больше такой разбег автомобилей. В таком случае обозы на такомтучастке не разойдутся. Второй случай. Дороги также параллельны и авто движутся по направлению дорог с максимальным интервалом между собой. И в этом случае обозы не объедут друг друга. Третий случай. Дорога произвольной кривизны. Но на любом участке этой дороги сохраняются ограничения первых двух случаев. Ответ: обозы в любом на любом промежутке дорог не разойдутся

[vikivanov]

А почему нельзя рассуждать так: выровняем времена t и тау так что чтобы первый автомобиль находился в той же точке, что и первый воз. При этом по мере движения этой точки (№1) автомобиль 2 и воз 2 будут двигаться друг навстречу другу, а значит встретятся в некоторой точке №2. Расстояние между точками №1 и №2 будет меньше 2l, поскольку это расстояние между автомобилями 1 и 2.