Как найти уравнение и длину циклоиды, используя комплексные числа?

В этом видео будем находить уравнение и длину циклоиды - кривой, получаемой движением точки на ободе колеса при его качении без проскальзывания по прямой. В этом нам помогут комплексные числа.

Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911

[ЮсуповИльяс]

Помню на олимпиаде эту циклоиду . Задача была что-то по типу : Найдите радиус кривизны в самой верхней точке циклоиды

[Anti_During]

Уффф. Рекурсивно посмотрел видео ролики про двойные интегралы в полярных координатах и про эллипсы. Теперь я вернулся и готов посмотреть этот материал ))

[YanShtunder-pu]

Это кайф, все четко и понятно. И метод интересный. Жаль, что в школах так не рассказывают 😢

[Observer]

Браво! Очень красивое решение. Я получил эстетическое удовольствие при просмотре этого ролика.

[bvv]

Спасибо за просветительскую деятельность!

[RezerdPrime]

Очень занимательный способ решения задачи, еще и пользу комплексных чисел демонстрирует)

[maksim]

Отличное видео! Еще раз доказывает огромный потенциал комплексных числе для решения задач. Не даром вся прикладная физика (электро-, гидро-, аэродинамика) решается с их использованием.

[nobugsnohugs]

4:26
Как приятно услышать правильное произношение :)

[alexfrozen]

Спасибо, интересные видео.Да, я в комментарии к одному из видео предлагал кардиоиду рассмотреть, но очевидно, что нужно с движения по прямой колеса (окружности, круга)- циклоиды рассмотреть сперва, это тоже труднопонимаемая тема.

[PoweredUP_]

Класс! Не думал, что ответ будет столь простой

[KOTYARA_]

Ничего не понятно, но ооочень интересно, жду не дождусь когда будем интегралы проходить😊

[blackeagle-zt]

... немножко комплексного анализа плюс воображение - и задача решена. Спасибо.

[maligosssaron]

Спасибо за Ваши видео!)
Я в них нахожу некое вдохновение самому решать. Смог даже решить на своём уровне базельскую проблему, без разложения синуса и без рядов Фурье. Хотя, похоже, как я читал, я не зная использовал преобразование Фурье, но дискретное, и ещё вроде над полем. Я хотелось бы узнать по побольше о таком методе, а то в интернете не очень нахожу( Но видел такой метод на многочленах. А также нашёл решение для ряда Σ1/(kn)! при натуральных k, которое совпало с мои (а именно суммирование e^(ζʳx), где ζʳ — корень k-той степени из 1)

[surenot-kysy]

Отличное видео. Ко́мплексные числа, правда, режут слух. Как говорят, ко́мплексными бывают обеды, а числа всё таки копле́ксные.

[Ihor_Semenenko]

Мммм, брахистратона.
График циклоиды по своей сути - есть графики движения точек колеса (но не только!), что очень интересно, с точки зрения изучения этого движения. И получается интересная зависимость, хотя само колесо совершило один оборот, который 2πR ≈ 6, 28R, но при этом точка колеса прошла 8R расстояние, т.е. на 27% большее расстояние.
Этот же факт, обосновывает причину наличия крыльев у транспорта - иначе грязь и вода с колес летели бы на крышу или на голову велосипедиста (вот кстати хорошая задача для исследования).

[SvetlanaTrutaeva]

Отличный урок. Скажите в какой программе можно делать такие классные анимации?

[Ded-Misha-]

Не планируете ли переехать или добавить другую площадку?

[TailsExar]

когда точка вне круга - есть моменты, когда она движется назад, хотя всё движется вперед. Вопрос такой "что в поезде иногда движется назад, когда поезд едет вперед?" встречал. Вот эта самая точка на колесе поезда, ведь у поезда колесо из двух кругов, пока меньший катится, больший нужен для удержажания на рельсах.

[Pikuto]

А будут красивые пределы от двух переменных, например, (a;b) -> c?

[romank.]

С переходом к комплексным числам прикольно получилось. Но задачка написать уравнение циклоиды довольно простенькая. Я вот тут набрёл на такую задачку. Даны n положительных чисел. Их среднее арифметическое Mn, геометрическое Gn, гармоничнское Hn. Надо доказать, что отношение (Mn+Hn)/Gn ограничено снизу. Это отношение больше или равно интересному числу ((n-1)^2+1)/(n-1)^(2-2/n), а равенство достигается на наборе чисел 1, (n-1)^2, (n-1)^2, ..., (n-1)^2. Лично я справился только для случая n=3.