Satz von Euklid: Unendlich viele Primzahlen (Beweis)

Der Satz von Euklid: "Es existieren unendlich viele Primzahlen", lässt sich ganz einfach mit einem Widerspruchsbeweis (indirekter Beweis) zeigen.

KORREKTUR: Die "größte Primzahl" sollte nicht "n" heißen, weil n bereits der Index dieser Zahl ist. Besser wäre hier einen anderen Namen zu wählen, wie "N".

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Inhalt:
0:00 Was ist eine Primzahl? + Beweisidee
0:46 Widerspruchsbeweis, Annahme, Konstruktion einer Zahl
2:15 Weitere Primzahl gefunden! WIDERSPRUCH

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Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.

[Noah-qzzi]

Sehr gut erklärt, hat mein Dozent natürlich mal wieder viel zu dramatisch erklärt ! Dankeee

[MathePeter]

KORREKTUR (am Anfang): Die "größte Primzahl" sollte nicht "n" heißen, weil n bereits der Index dieser Zahl ist. Besser wäre hier einen anderen Namen zu wählen, wie "N".
ANMERKUNG: (2:13) "z muss eine Primzahl sein" oder sie lässt sich in Primzahlen zerlegen, die nicht in der Liste vorkamen. Was aber ein Widerspruch dazu ist, dass in der Liste alle Primzahlen standen. (Wem durch die Formulierung nicht klar wird, was gemeint ist, ergänzt bitte noch den letzten Teilsatz 😊)

[hanskywalker]

Das ist doch mal schön mathematisch anschaulich.
Nimmt elementare Werkzeuge der Mathematik ( Primfaktorzerlegung), um damit andere Themenbereiche zu erklären und das in unter 3 Minuten!!!
Sehr schön

[Kerbaro]

Eines ist mir aber noch unklar, angenommen die Zahl der Primzahlen ist beschränkt und man multipliziert diese nacheinander aber man addiert nicht 1. So kommt eine Zahl raus, die sich durch jede Primzahlen teilen lassen würde. Somit wäre sie keine Primzahl.

Addiert man nun aber 1 erhält man allerdings den Rest 1, wenn man durch eine der Primzahlen teilen würde. So weit so klar. Aber woher weiß ich, dass es keine andere Zahl gibt, eine die keine Primzahl ist, die Z teilt? Für mich geht hier nur hervor, dass die Zahl Z durch Primzahlen nicht restlos teilbar ist. Aber Z müsste doch durch alle Zahlen nicht restlos zu teilen sein um als Primzahl zu gelten?

[ByzCSGO]

Genial! Klar und auf den Punkt erklärt, danke :D

[blitzipalpatine]

Danke für dieses Video :), Mathematik ist wirklich faszinierend :D

[lukasrucken]

Z ist nicht zwangsläufig eine Primzahl: Bewiesen ist nur, dass die vermeintlich endlichen Z nicht teilen; möglich ist jedoch eine Zerlegung in Primzahlen, die tatsächlich größer sind als die vermeintlich endlichen, trotzdem aber nicht Z sind. Beispiel:

2*3*5*7*11*13+1=30.031=509*59

Oder habe ich etwas missverstanden?

[paulwuttke]

Könnte man dann alle aktuell bekannten Primzahlen beliebig oft miteinander multiplizieren und dann +1 rechnen, und somit immer die nächstgrößte Primzahl herausfinden. Bedeutet das dann auch, dass das einzige Hindernis zum immer weiteren Entdecken von noch größeren Primzahlen nur die Rechenleistung aktueller Computer ist?

[ゼキ-ef]

Mit dieser Formel bekomme ich aber bspw 19 nicht raus. Gibt es da eine Formel dazu? Bin kein Mathematiker, frage nur aus Interesse😊

[ゼキ-ef]

Mathematik ist faszinierend, ich vermisse es.

[marclignano]

Vielen Dank für die gute Erklärung. Eine Frage: Darf man mit dem Satz des Euklid auch dann argumentieren, wenn man auch die 1 für eine Primzahl hält? Der Ausschluss der 1 aus P beruht ja nur auf Konvention. Wenn man die 1 zu P dazudefiniert, dann könnte man in dem Fall, in dem Z prim ist, restlos durch 1 teilen. Ein Widerspruch lässt sich so aber nicht aufzeigen. Oder?

[maxzimmermann]

Beweis viel besser als in der Vorlesungen, aber darf er so geführt werden? Für den Fall, dass z keine Primzahl ist, kannst du doch eigentlich nicht
z/pk=p1*... *pk-1*pk+1*...*pn +1 rechnen und dann sagen, wir sehen, dass die Zahl nicht restlos durch pk teilbar ist. Kannst ja nicht einfach pk Rest und links dividieren weil du links ne Summe hast oder?

[TonyStark-lvff]

Kann jemand bitte das hier beweisen eine zahl p aus N ist genau dann ein Primzahl, wenn es gilt p|(a*b) => p|a oder p|b (diese p|a bedeutet p teilt a, und das hier => ist implikation)

[unmastered]

Sehr cooles Video! Eine Frage nur und zwar zu dem Punkt wo man zeigen möchte dass es sich nicht um keine Primzahl handelt. Man sagt die Zahl würde sich nicht restlos teilen lassen und nutzt den Satz vom kleinsten Teiler aber könnte nicht die Möglichkeit bestehen, dass es nicht trotzdem eine Primzahl der kleinste Teiler sein könnte. Diese wäre eben in der endlichen Menge und wer weiß wie groß. Somit könnte man doch sagen dass die neue Zahl kein Primzahl ist. Oder übersehe ich etwas?:)

[mxy]

Aber warum sollte das Produkt aller Primzahlen addiert mit eins eine weitere Primzahl ergeben. (Also ich verstehe nicht ganz den Grund 1 zu addieren)

[jerome]

Wieso muss das Produkt der Primzahlen denn durch eine Primzahl ohne Rest teilbar sein? z.B.: 2*3*5= 30 und 30 ist ja definitiv nicht durch eine andere Primzahl ohne Rest teilbar (auch ohne +1).

[muzeyyenbicici]

ich glaube ich bin zu dumm für die welt ich verstehe immer noch nichts

[p.s.]

Warum grösser 2? 🤔 Ist denn 2 keine Primzahl? Hat genau zwei Teiler.

[DennisHasenkampfDH]

Ich behaupte mal es gibt nur die Primzahlen {2, 3}. Jetzt nehme ich das Produkt der Primzahlen 2, 3=> 2*3=n, addiere 1 zu n=7. 7 ist durch 2*3 Rest 1 teilbar und in Ihre Primfaktoren ohne Rest zerlegbar. Also muss es eine neue Primzahl geben, die die 7 in Ihre Primfaktoren OHNE REST zerlegt und zwar einfach 7. Also gibt es mehr Primzahlen, als in der Liste angegeben, und zwar unendlich viele.

[fleek]

Danke Mann, in der Vorlesung grad wurde es mir wesentlich schlechter erklärt :D