ОГЭ 2021 Площадь через синус. Теорема о биссектрисе. + Д/З

Геометрическая задача №26 (повышенной сложности) для подготовки к ОГЭ.
Для самостоятельного решения в конце видео есть задача.
Ответ пишите в комментариях.
Подписывайтесь =)
0:00 приветствие
0:19 условие
0:58 начало решения
2:46 теорема о биссектрисе
5:07 площадь через синус
8:19 площадь 4-х угольника

[-wx--]

В принципе можно и не трогать синус, используя один и тот же принцип (площади частей относятся как части основания).
S(ABM) : S(BCM) = AM : CM = 3 : 2 ⇒ S(ABM) = S(ABC)·3/(3+2) = 84;
S(ABK) : S(AKM) = BK : KM = 3 : 1 ⇒ S(AKM) = S(ABM)·1/(3+1) = 21;
S(ABL) : S(ACL) = BL : CL = 9 : 5 ⇒ S(ACL) = S(ABC)·5/(9+5) = 50;
S(CLKM) = S(ACL) - S(AKM) = 29.

По второй аналогично.
BL : CL = 7 : 4, AM = AC/2 ⇒ BK : KM = 7 : 2, S(ABM) = S(ABC)/2 = 99;
BL : CL = 7 : 4 ⇒ S(ABL) = S(ABC)·7/(7+4) = 126;
BK : KM = 7 : 2 ⇒ S(ABK) = S(ABM)·7/(7+2) = 77;
S(MCLK) = S(ABC) - S(ABL) - S(ABM) + S(ABK) = 198 - 126 - 99 + 77 = 50.

Можно по-другому:
BL : CL = 7 : 4, AM = AC/2 ⇒ BK : KM = 7 : 2, S(ABM) = S(ABC)/2 = 99 ⇒ S(AKM) = S(ABM)·2/(7+2) = 22;
BL : CL = 7 : 4 ⇒ S(AСL) = S(ABC)·4/(7+4) = 72;
S(MCLK) = S(ACL) - S(AKM) = 50.

Вообще медиана — мощный инструмент. Если провести через K чевиану CN, довольно просто показать что S(AKM) = S(CKM), S(AKN) = S(CLK), S(BKN) = S(BLK), даже биссектрисистость AL не важна. По сути это доказательство частного случая теоремы Чевы, причём получается что L и N делят BC и BA соответственно в одном и том же отношении, а также равноудалены от AC (т. е. LN ∥ AC). Таким же образом K делит AL и CN (AK : KL = CK : KN). Стоп, что-то я в дебри полез. ;-)