A Nice Diophantine Equation in Number Theory You Will Never Forget

In this video, I am presenting step-by-step solutions to this interesting diophantine equation. Diophantine equation is an interesting yet very important topic in algebra and number theory, and this is a very good practice for math olympiad. Important factoring skills are also included in this video. Make sure to watch the video until the end, and know how to approach this diophantine equation. More to come! Stay tuned!

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#DrPKMath #diophantineequation #numbertheory

[Min-cvnt]

Happy that I solved this question exactly the same way you did professor

[unknownhayder]

I may seem exaggerating, but really your videos and the mathematical problems that you share are very wonderful, thank you Dr PK, and I really hope to be your friend to help me sometimes ...

[FrankFerrer]

Mi lengua nativa es el español, espero que si se traduce sea entendible.
Y también trataré de resumir lo mejor posible ya que mi solución fue bastante larga y usé desigualdades y cambios de variable.
Al inicio me atreví a intentarlo por mi cuenta ya que me encanta la teoría de números, pero solo avancé hasta una parte ya que pensé que las soluciones tendrían cierta forma en función de valores enteros positivos cualesquiera y notaba que no cumplía con Y y X enteros positivos, entonces ví el video y me gustó las soluciones sinceramente. Entonces volví de nuevo y mi objetivo era que de esa forma general que había formado a partir de estos pasos:
1/x + 1/y = 1/5
entonces,
x+y/ xy = 1/5
Luego
x+y = xy/5
Y acá empezó mi estrategia para encontrar las soluciones ya sean finitas o infinitas:
si x = 5m
Entonces
5m +y = ym
despejando y paso a paso:
5m= y(m-1)
y=5m/(m-1)
Y haciendo un procedimiento análogo para y=5n, por el procedimiento anterior es evidente que:
x= 5n/(n-1)
De ahí ví que, n =2
x=10=y
Pero para n=3 no era entero
Entonces mi objetivo era acotar lo mejor posible para asegurar que sean enteros positivos, entonces hice lo siguiente
Si x=5m
y = 5m/(m-1)
5m= A(m-1)
De forma análoga también,
Si y=5n
x = 5n/(n-1)
5n= B(n-1)
Ahora las 2 ecuaciones, es evidente que:
Am-5m-A=0
Bm-5n-B=0
Luego,
A-5-A/m=0
B-5-B/n=0
Luego,
A= A/m + 5
B=B/n +5
De nuevo acotar, se podrá hacer evidente que para B= n por otra cte. Compartirá las soluciones de A=km,

A=mk
Entonces,
A=k+5
y=5m/(m-1) =A=k+5
Ahora a acá está la parte más importante.
Queremos y entero, entonces necesariamente k debe ser entero y acá empezamos a acotar
5m/(m-1) -5=k
5/m-1=k
Entonces si quiero que k sea entero, m-1 debe ser menor igual a 5 y mayor igual a 1, esto es, m={2, 3, 4, 5, 6} si queremos que k sea entero, y esto se cumple sí y solo sí, m=2, 6
x=5m
x={10, 30}
Entonces
y= {10, 6}
Luego si B=n por otra cte.
Es evidente que n también tiene las mismas posibilidades que m
entonces como y=5n
y={10, 30}
Entonces,
x={10, 6}
Habiendo abarcado todas las posibilidades si x=5m o en el caso que y=5n, el conjunto solución será su unión de soluciones, esto es
(X;Y) =(10;10), (30;6), (6;30)
Y entonces estas son todas las posibles soluciones a la ecuación original.
Muchas gracias si tuvo la paciencia de ver mi procedimiento, aunque esté en español, espero pueda haberle de su agrado mi solución a este problema de teoría de números. Excelente video!

[benjaminhayes]

Hi Dr PK :) I love your youtube content!

Oh I see it now :) you are too good at math.

Going from the black to the blue equation confused me, because expanding the blue, you get signs flipped. You flipped the signs on the black equation in your head before factoring.
(x-5)(y-5) = + xy - 5x - 5y +25

Small difference, you're correct, I checked with wolframalpha before posting, try not to embarrass myself lol

thought I caught a mistake... ahahhahaa I was clearly dreaming, I envy your skills :) have a wonderful weekend.

[axeleast]

Those of us who are not mathematicians might look at this question and see immediately that x = y = 10 is one solution. A second value for x can only be 6 ot 7 or 8 or 9. Try 6 et Bob est votre oncle.

[adambabu]

My answer
(x, y) = (2, 6) and (6, 2)
But it is wrong 😢