Comprendre ce qu’est o(x) (petit o de x) – Explications + Propriétés - Maths Prepa Licence

On va voir comment interpréter le petit o de x, ce qu’il signifie concrètement. Pour cela, il va y avoir quelques explications, puis on va parler de ses quelques propriétés, notamment :
- la multiplication par un réel : λ*o(x^n)
- la multiplication entre 2 o(x) : o(x^n)*o(x^n)
- la somme de 2 o(x) : o(x^n)+o(x^m)
- o(x^n)/x^n = o(1) = 0
- - o(x^n) = + o(x^n)

Lien des fiches : consulter l'onglet "à propos" de la chaine
J'essaye de bien expliquer :) … et en 4K 😝
Analyse Maths Niveau Prépa/Licence/IUT/BTS 1e année (Bac+1)

[aragornx]

Génial merci infiniment ! Enfin quelqu'un qui explique clairement, tu as réussi à me faire "sentir" ce que ça représentait mathématiquement. La qualité visuelle et sonore de la vidéo est top ! Continue les vidéos !

[maximelebras]

Merci énormément !! C'est littéralement LA vidéo que je cherchais depuis une heure !!

[ivyrogue]

MERCI, j'étais à deux doigts de laisser tomber. merci beaucoup pour ta vidéo, continue comme ça !

[fortnartistepro]

Bonjour Monsieur, je suis étudiant en CPGE ENS-D2 et le prof nous a fait travailler ce chapitre tout seul. Votre vidéo m'a grandement aidé dans des moments de stress. Merci à vous !

[ker]

Brillant de pourvoir faire des présentations aussi utiles avec juste une feuille de papier et des feutres de couleur.

[Aijklmnop]

Love you j'ai tout compris merci !!

[ker]

Bravo ! vraiment clair et agréable à écouter sans beaucoup de moyens matériels . Juste un stylo et quelques bouts de papier.

[alixbrown]

merci infiniment !! C'est super clair, grâce à cette vidéo j'ai enfin pu comprendre ;)

[oliviersacha]

Merci ! Super explications !
8:18 ça m'a tué mdrr

[EricBrunoTV]

8:43 Je pense que tu as fait une petite erreur. Lorsqu'on doit faire la somme de petit o de deux puissances, on garde le petit de puissance inférieur. Exemple: Quand tu calcules le developpement limité d'une fonction élémentaire, le petit est celui du dégré auquel tu t'arrete. Tu ne prends pas un dégré supérieur.

[ggtram]

un grand merci pour toutes tes vidéos !!

[elhadji]

Merci! C'était très très bien expliquée ! Merci!

[sergeh.]

En fait tout cela est beaucoup plus intuitif en ecrivant qu'un o(f), c'est la multication d'un infiniment petit e avec f: o(f)=e.f. Tout le reste en découle. Faire comme si "e" était ici un nombre, inférieur à n'importe quel réel aussi petit soit-il. Bien entendu cette façon d'expliquer les petits o en faisant comme si "e" était un nombre et non pas une fonction n'est pas encore enseignée à l'université, mais ça viendra, car du coup il n'y a pas besoin de se trimbaler les limites pour expliquer les petits o et les équivalents. En ajoutant o(f) à f, on ne change pratiquement pas la valeur de f. Ces o(qq chose) sont les infiniments petits des physiciens, ou encore, les quantités qu'ils négligent devant la valeur de ce "qq chose" (toujours au voisinage du point considéré). Ex avec votre premiere egalité : Ex avec la quatrieme égalité : o(x^n)/x^n = e.x^n/x^n=e. Or o(1)=e.1=e on a bien o(x^n)/x^n = o(1)

[johnk]

J'ai mieux compris avec ses je m'en fiche incroyable belle découverte cette chaîne !!

[FanomezanaSarobidyMichelleRAZA]

merci infiniment, tu expliques super bien

[aya_mkl]

Par contre, t'es un génie de l'explication, je payerai pour avoir des cours avec toi !

[sergeh.]

Il n'y a pas une erreur sur le tableau ? Pour n plus petit que m, c'est (x^n) le resultat, non ?

[Imane-phft]

quand on nous demande de faire un DL sans préciser de quel ordre comment on sais jusqu'a quel ordre faire ?

[fresneltonda]

Merci c'est très bien expliqué !!!

[romaindautricourt]

En réalité il faut préciser en quoi on évalue le petit o. Cela peut causer entrainer des propriétés très différentes en fonctions des cas.

De manière générale on dit que f(x) = o[a](g(x)) (se lit f(x) est un petit o en a de g(x)) si et seulement si f(x)/g(x) tend vers 0 en a.

Pour le cas f(x) = x^n et g(x) = x^m à considérer en 0, cela marche si n > m. On a alors x^n = o[0](x^m) car x^n/x^m = x^(n-m) qui tend vers 0 en 0 (car n-m>0). Un exemple concret : x^5 = o[0](x^2) car x^5/x^2 = x^3 qui tend vers 0 en 0.
Autrement dit en 0 les puissances de x les plus grandes sont négligeables par rapport aux puissances les plus faibles.

En revanche en l'infini c'est l'inverse. Ce sont les puissances les plus faibles qui sont négigeables devant les puissances les plus fortes. x^2 = o[inf](x^5) car x^2/x^5 = 1/x^3 qui tend vers 0 quand x tend vers l'infini.

Tout ça pour dire que dans mon exemple écrire x^5 = o(x^2) ne veut rien dire si je précise pas en quel point je considère mon petit o. Ici c'est vrai en 0 mais en l'infini c'est faux et c'est d'ailleurs le contraire.