Лекция 2 | Теория неподвижных точек | Яков Жуков

18.07.2024

Курс посвящен разнообразным теоремам о неподвижных точках однозначных и многозначных отображений. Многие современные задачи посвящены вопросам существования решений уравнений или равновесий систем, игр. Среди них есть и задача тысячелетия.

Вопрос существования решений некоторых задач сводится к поиску неподвижной точки некоторого отображения. В рамках в базовых курсов обычно приводятся только самые известные теоремы, а именно теоремы Брауэра и Банаха о неподвижных точках, которые имеют множество приложений. Неужели на этом весь список теорем заканчивается? Исследование нелинейных задач мат. физики привело к появлению новых теорем о неподвижных точках, обобщающих идеи классических утверждений. Более того, оказывается, что даже в таких разделах как теория игр и мат. экономика находят свое место неподвижные точки. Так, Джон Нэш показал, что вопрос существования оптимальных стратегий игроков сводится к поиску неподвижной точки специального многозначного отображения.

Курс разбит на 2 части: неподвижные точки однозначных и многозначных отображений. В рамках курса автор, предполагает формирование листочков заданий, для тех, кто захочет самостоятельно что-то подоказывать. В общей сложности предполагается проведение от 14 до 16 лекций.

Автор курса ставит перед собой задачу собрать в одном месте набор теорем, разрозненных по монографиям и статьям или вовсе отсутствующих в русскоязычной литературе. Курс не предполагает специальных знаний, кроме базовых фактов о топологических, метрических и нормированных пространствах. Необходимые факты будут упомянуты и приведены в рамках курса.

План:
Часть 1. Неподвижные точки однозначных отображений

Введение
Разнообразные сжимающие отображения
Теорема Каристи – Кирка о неподвижной точке и ее обобщения
Сжимающие отображения в топологических пространствах
Нерасширяющие отображения
Псевдосжимающие и почти сжимающие отображения
Неподвижные точки ориентированного графа
Обобщения теоремы Брауэра
Неподвижные точки в теории решеток

Часть 2. Неподвижные точки многозначных отображений

Сжимающие многозначные отображения
Теорема Какутани и ее обобщения
Теорема Ки Фана
Селекторы, теорема Майкла и теорема Браудера – Фана

Литература:
H. K. Pathak, «An Introduction to Nonlinear Analysis and Fixed Point Theory», (2018)
P. V. Subrahmanyam, «Elementary Fixed Point Theorems», (2018)
K. C. Border, «Fixed point theorems with applications to economics and game theory», (1985)
M. R. Alfuraidan, Q. H. Ansari, «Fixed Point Theory and Graph Theory», (2016)
Ю. Г. Борисович , Б. Д. Гельман , А. Д. Мышкис , В. В. Обуховский, «Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений», (2010)
Е.С. Половинкин, «Многозначный анализ и дифференциальные включения», (2015)

Пререквизиты:
Компактность и выпуклость множеств. Понятие непрерывности функционалов и операторов. Теоремы Банаха и Брауэра о неподвижной точке.

[I.Zhukov.Mathematics]

Обратите внимание! В 2:00 принцип сжимающих отображений записан неверно: правильно d(Tx, Ty) <= Ld(x, y). Иначе теорема неверна. В 24:50 оговорка! Не сжимающего по Банаху, а сжимающего по Каннану! Как раз таки для сжимающего по Банаху это будет не верно. В следующей лекции поправил. В 1:09:00 не дописано утверждение теоремы, а именно, что такое отображение будет иметь единственную неподвижную точку