✓ Куб и тетраэдр | ЕГЭ-2017. Задание 14. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Разбираем задание 14 реального варианта ЕГЭ-2017.

Как поддержать канал:
Bitcoin: bc1qwzx9t9mz5h5q8sgtz74mdgedxd5wu0g9kq6q5m
Ethereum: 0xAE872DcA8B135cf62Df4B36bE576a2EE64c6066a
Разовая помощь (Сбер): 2202 2001 0398 5451

В этом учебном году я веду три курса:
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.

Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:

[ДианаГорбунова-эй]

с этими достроенными фигурами реально легче решить, никогда бы не додумалась так сделать наверное

[VladoK]

Очень интересный способ. Спасибо большое. А я, помнится, через треугольники шёл.

[dolbe]

Начинаю смотреть ваше видео автоматом ставлю лайк)

[seneser]

А можно ли было доказать это через проекции на стороны куба и что прямая AP проходит через центр плоскости BDC ' ?

[bad-_-boy]

а можно сказать что А равноудалена от B, C1 и D1 значит и Р равноудалена от этих вершин?

[constantinfedorov]

Прошло три года, но я все равно напишу. Это очень топорный способ. Достаточно показать, что точка P симметрична точке A относительно плоскости BDC1. Для этого надо знать (или доказать), что плоскости BDC1 и AB1D1 перпендикулярны диагонали A1C и делят её на три равные части.
Как по моему - это вопрос теории, но доказательство простое. Например, треугольник BDC1. Его можно считать основанием тетраэдра с вершиной A1 (это будет вообще правильный тетраэдр), => точка A1 проектируется в центр правильного треугольника BDC1. А можно этот треугольник считать основанием тетраэдра с вершиной C, у которого все боковые ребра (ребра куба, выходящие из C) равны, => точка C проектируется в центр BDC1. Перпендикулярность AC1 и BDC1 доказана, потому что через центр BDC1 можно провести только один перпендикуляр. Аналогично доказывается для треугольника AB1D1.
Ну, я, как "капитан очевидность", просто обязан сказать, что, раз эти плоскости перпендикулярны большой диагонали, то они параллельны, и к отрезкам прямых (или лучей из одной точки) применима теорема Фалеса.
А тогда уже понятно равенство всех трех отрезков, на которые эти плоскости делят большую диагональ. Эти плоскости делят пополам диагонали граней A1C1 и AC. Поэтому отрезок между плоскостями будет равен и отрезку от вершины A1, и - от вершины C. То есть все три равны.
(ну вот в переводе на "обычный геометрический язык". Пусть центр треугольника AB1D1 - точка O, а центр треугольника BDC1 - точка O1. И пусть середина A1C1 - точка M1, а середина AC - точка M.
Тогда из M1C1 = A1M1 следует OO1 = A1O; из AM = MC следует OO1 = CO1; => A1O=OO1=O1C; )
Ну, => все три равны 1, => от плоскости до A1 и до P одинаковое расстояние 2.
Теперь ответ очевиден. PBDC1 - зеркальный тетраэдр для A1BDC1 относительно плоскости BDC1.
На самом деле последняя строчка и есть решение задачи, а все остальное - "теория". Если знать это все, задача превращается в письменный вопрос по теории, а решение возникает мгновенно.
Да, еще второй пункт. Я напомню, что обозначил центр треугольника AB1D1 как O. Тогда PO = 3; (кто не уловил - это только что было доказано :)). Ребро куба равно √3, => диагональ грани (то есть сторона правильного треугольника AB1D1) равна √6; => AO = √2 (это радиус описанной окружности треугольника AB1D1 и одновременно проекция AP на плоскость AB1D1).
Ну, 3^2 + (√2)^2 = 11; => AP = √11;
Конечно же, я рассмотрел правильную пирамиду PAB1D1 :). Правильная она просто из соображений симметрии.
Кстати, тут есть очень забавный вопрос "для детей". Если вы смотрите на куб из точки P, то что вы видите? (То есть что представляет из себя ортогональная проекция куба на плоскость, параллельную BDC1?)

[ilnazthe]

можно было найти пункт б через теорему косинусов