Welche Werte kann dieser Term annehmen? (Bundeswettbewerb Mathematik 2024)

Weitere Lösungsmöglichkeiten und andere Aufgaben:

[malamut]

Sehr cool, vor allem noch mit dem Hinweis auf das Hilbert-Problem am Ende. Vielen Dank!

[joseluishablutzelaceijas]

Es ist natürlich sehr hilfreich, wenn man mithilfe von Programmen Punkte verschieben und dadurch mit der Form der Figur spielen kann, um dann über die Überlappungen auf diese Ungleichungen in 5:04 zu kommen. Ohne diese Programme wäre dies natürlich etwas mühselig zu machen. Es ist sehr wahrscheinlich, dass die Idee der Personen, die diese Aufgabe stellten, wohl eher die Anwendung von Ähnlichkeit war, da eben alle Geraden durch den Punkt P parallel zu den Seiten sind. Wenn man die durch die Durchschnitte mit den Parallelen entehenden Teilstrecken der Seite AB mit x, y und z bezeichnet, dann gelten wegen Ähnlichkeit D_A = [ABC]*z^2/(x+y+z)^2 und V_A = [ABC]*y^2/(x+y+z)^2*2*x/y (skaliere die Fläche von D_C und multipliziere mit 2 wegen Parallelogram), wodurch D_A/V_A = z^2/(2*x*y). Man kann dann analog die Ausdrücke für D_B/V_B und D_C/V_C erhalten, sodass D_A/V_A + D_B/V_B + D_C/V_C = x^2/(2*y*z) + y^2/(2*z*x) + z^2/(2*x*y) = (x^3+y^3+z^3)/(2*x*y*z). An dieser Stelle wird man höchstwahrscheinlich an eine Anwendung der AM-GM-Ungleichung denken, konkret dass x^3+y^3+z^3 >= 3*x*y*z mit Gleichheit genau dann wenn x = y = z. Es gilt also D_A/V_A + D_B/V_B + D_C/V_C >= 3/2, wobei die untere Schranke angenommen wird und der Ausdruck kann auch beliebig grosse Werte annehmen, wenn eines der Terme beliebig gross wird, was erreicht werden kann, wenn P nahe einer Ecke gewählt wird.

[Paul_Schulze]

Vielen Dank, dieses Video hat mir wirklich mal sehr gut gefallen... es war eben nicht zu schwer.

[TTR]

Echt anschaulich!
Und der Trick mit y² >= 0 kommt mir auf jeden Fall auch bekannt vor. Ist interessant, den mal in einem Video gesehen zu haben :)

[johann]

Hier fehlt tatsächlich die Begründung, dass immer ein Punkt, zu dem der Term den Wert 3/2 annimmt, existiert. An einem gleichschenkligen lässt sich das zwar gut erklären, für die Verallgemeinerung auf alle Dreiecke muss man aber den Schwerpunkt nehmen und erstmal viele Seitengleichheiten beweisen um die Kongruenz zu zeigen. Die Musterlösung vom Bundeswettbewerb macht die Konstruktion auch ausführlicher.

[complexcreations]

Welche LaTeX-Schriftart benutzt du? Sieht mega aus!

[thomasr]

Streng genommen müsste man auch zeigen, dass die Abbildung von "Dreiecksfläche" (R^2) nach R, die dem Punkt die Summe zuweist, stetig ist.

Genauer gesagt: um die Surjektivität auf [3/2, oo) zu zeigen, argumentiert man mit dem Zwischenwertsatz.
Dass die Abbildung stetig ist, sieht man, wenn man die Koordinaten einsetzt und rechnet. Dann ergiben sich Summen und Quotienten von Polynomen (die stetig sind). Nun muss man nur noch zeigen, dass die Nenner immer positiv sind (P liegt im Inneren von ABC).

[dustinbachstein]

mal, fehlt da jetzt nicht die Begründung dafür, dass auch *jeder* Wert > 3/2 angenommen werden kann? Woher wissen wir z.B., dass die gesuchte Wertemenge nicht etwa [3/2;x] vereinigt mit [y;unendlich) für irgendwelche festen Zahlen x, y ist? (3/2<x<y)

[captnmaico]

Hab die Landesaufgaben mit meinem Neffen gemacht, ist immer ein rießen Spaß, weil die ersten Aufgaben noch trivial sind und man bei den anderen Aufgaben dann doch länger dranhängt als gedacht.

[asthmen]

Super interessant, Danke fürs Video! Das mit der Summe Quadratterme wusste ich einfach nicht. Eine kleine Frage, was hast Du als Schriftart für die Mathe in diesem Video benutzt? Er ist ganz schön!

[Terrabert-hl]

Du machst echt immer so coole und schöne Videos zu, Bundeswettbewerb Mathematik, da frage ich mich immer, wieso nimmst du nicht direkt teil? Ich bin sicher, du würdest easy ne Gold Medaille schaffen!

[mathotter]

Man kann die Aufgabe relativ leicht lösen, indem man eine Funktion bestimmt, die für alle Punkte innerhalb des Dreicks die geforderte Summe ermittelt. Dazu wählt man eine der drei Geraden und das Verhältnis, wie der Punkt P diese Gerade teilt. Dann benötigt man nur noch die Strahlensätze und erhält eine analytsiche Funktion für die gesuchte Summe in den beiden Variablen.

Erstes Ergebnis, die Funktion ist für alle Dreicke gleich, d.h. die speziellen Paramter (z.B. Seitenlängen oder Winkel) spielen keine Rolle.

Zweitens, Wenn x das Verhältnis ist, indem der Punkt P die Gerade teilt, dann zeogt sich, dass die Funktion symmetrisch bezüglich x und 1- x ist. Die Funktion divergiert für x=0 und x=1, also liegt das Minimum bei x=1/2. Der Punkt P muss also die Gerade halbieren, damit die Summe minimal wird. Damit reduziert sich die Funktion auf eine Variable:

Summe(h) = 1/2/(H/h-1)+2*(H/h-1)^2

(H ist die Höhe des Dreiecks, h Abstand der Gerade vom Apex des Dreiecks)

Durch Differenzieren erhält man leicht h/H=2/3 als Minmum, und damit ist die Minimale Summe 3/2. Dieser Wert wird in jedem Dreich erreicht, indem man eine Gerade parallel zur Basis durch den Punkt H/3 zeichnet und sie halbiert

[_H__T_]

Ich sag‘s mal mit eigenen Worten: so wie eine Kugel das kleinstmögliche Volumen ggü. -edern hat, so ist p als zentraler Mittelpunkt die kleinstmögliche Variante. Sobald ich p aus dem Zentrum verschiebe, werden zwei Dreiecke größer, aber nur eines kleiner.

[karlbesser]

Die obere Schranke ~ ersieht man sofort, wenn man den Schnittpunkt in einen der Dreieckpunkte verlegt.

[mauricebre]

Interessant wäre jetzt wie sich der Wertebereich abhängig von der Metrik in gekrümmten Räumen verhält.

[gerdweissenborn]

Man stelle sich folgende Frage: Gegen sei ein Dreieck ABC, sowie eine Zahl x mit 3/2<x. Welches ist der geometrische Ort aller Punkte P, für den der infrage stehende Ausdruck den Wert x annimmt.
Es stellt sich heraus, dass dies eine einfach geschlossene Kurve dritter Ordnung ist. Für x -> 3/2 zieht diese sich auf den Schwerpunkt des Dreiecks zusammen. Für x -> unendlich nähert sie sich der Peripherie des Dreiecks an.

[krzysztofp.]

Zweiter, so cool! Liebe diese Videos!

[maxl]

Wie immer gutes Video. Wusstest du, dass du akademisch von Carl Friedrich Gauß (und anderen berühmten Mathematikern) abstammst? Das kann man im Mathematics Genealogy Project nachsehen, wo akademische Stammbäume von Mathematikern aufgezeichnet werden.

[dragononfire]

Wenn das Dreieck nicht gleichseitif ist, sind die teildreiecke am Anfang nicht konkgruent

[martinnimczick]

Ein ordentlicher Beweis für V_A <= D_B + D_C fehlt noch... Ich verschriebe etwas P und in den Fällen ist das "immer" so, ist keine ausreichende Argumentation 😂