Spengler, Gödel und die faustische Mathematik

Was hat sich seit Spenglers Untergang des Abendlandes in der faustischen Mathematik so getan?

Links:

Lizenzen:

[NikolajKuntner]

Platonisten kann ich jedenfalls nicht nachvollziehen - das ist eine Hypthese die meines Erachtens wenig bringt und gleichzeitig schwer zu rechtfertigen ist. In den letzten Jahren mache ich zunähmend Mathematik in einem großteils konstruktivem Framework und ich halte auch das Prinzip des Ausgeschlossenen Dritten (PEM) für ein unnötiges Postulat. Man kann es ja auch immer als Arbeithypothese annehmen, darum würde ich es nicht fix posultieren. Und wenn man es nicht annimmt, dann öffnet das Raum für andere axiomensysteme, die mehr mit Berechenbarkeitstheorie zusammen passt. In dem Sinne muss man konzept wie die "unendlich vielen Unendlichkeiten" nicht als Faktum verkaufen - ich meh du relativierst es eh mit deinem Formalistmus. Brouwer kommt zumindest gut ohne unendlichen Mengen aus - man kommt auch weit mit Klassen, weiter als man vielleicht denken mag. Also es reich zumindest für viel in der Analysis. Ebenso muss man "gegen unendlich" im Limeskonzept nicht als einen "Punkt im Unendlichen" charakertisieren - man kann buchhalten und die Aussagen für nur das nehmen, was auch da steht ("für alle epsilon existiert ein delta.. etc."). Selbst wenn man die Natürlichen Zahlen als Menge N akzeptiert kann man, zumindest ohne PEM auch postulieren, dass alle Mengen (auch zB. N^N) im surjektiven Bild einer untermenge von N sind (also zwar unabzählbar aber nicht "größer" als N.) Das Auswahlaxiom gibt natürlich selbst einige gute Beispiele für nicht-konstruierbare Objekte von denen ZFC 'beweist', dass sie existieren. Z.b. sind da alle Mengen A wohl-ordbar (also es heißt es gibt eine gewisse relation \subset A x A mit dieser und jener Eigenschaft), aber meta-theoretisch kann man auch zeigen, dass die Definierbarkeit einer konkreten well-order relation von den reelen Zahlen unabhängig von ZFC ist (was impliziert, dass dieses "existierende" Objekt nicht ZFC-definierbar ist.) Ein bisschen ein relevanteres Beispiel ist wie folgt: Die Borel-algebra B generiert von allen halb-offenen Intervallen (x, y] ist eine Untermenge von P(R) und hat |B|=|R|, und man kann aus den (nicht-leeren) S\subset B keine Auswahlfunktion angebeben - aber Choice impliziert dass es sowas geben solle. Nundenn, ich finde du solltest nicht allzu zu erstaunt sein, dass Choice sowohl akzeptierbar als auch verneinbar ist, über ZF. Die Theorie ZF versucht den intuitiven Mengenbegriff in einer first-order theory zu axiomatisieren, und die independence sagt nur, dass ZF nicht kathegorisch ist. Das Ziel von Theorien ist halt immer ein bischen anders - manchmal ist categoricity erwünscht und manchmal nicht: Also die Gruppentheorie als first-order theories ist ja grad so interessant, weil die Sachen die man dort beweist für viele Modelle gelten. gerade weil die Gruppentheorie viele Modelle hat, ist sie interessant. In der Gruppßentheorie kann man sagen "alle gruppen seien kommutative", und damit schränkt man die Modelle ein. Oder man axiomatisiert das Gegenteil. ZF is auch nur eine Theorie, die Absicht war allerdings, dass es nur einen Sinn von "Menge" beschreiebn sollte, und es stellt sie halt heraus, dass - wie bei der Gruppentheorie - es mehrere solche Mengenkonzepte gibt. Whence, Choice is so ein do-as-you-like axiom. Gilt auch für das Unendlichkeitsaxiom. Du kannst postulieren, dass es keine Unendlichen Menge gibt (also ZF-Inf+not Inf), und bekommst eine Mengenleehre mit einem guten Model (hereditarily finite sets). Finally: Du sagt "es wurde gezeigt, dass Mathematik (say PA) widerspruchsfrei ist", aber das is natürlich eine relative aussage. Würd ich so ned hinnehmen - auch wenn ich keinen Widerspruchsbeweis erwarte. Btw. es gibts einige recht konkrete Polynome die man hinschreiben kann und von denen man Zeigen kann, dass sie zur Inkonsistenz des Systems equivalent sind (siehe Hilbert's 10 problem). Speaking of Gödel: Grüße aus dem 9ten.

[pfarraldcash]

Diese Folge ist Gold! Mehr gelernt als in meiner kompletten Schulzeit, wobei Das leider nicht einmal für ein würdiges Kompliment reicht. 😅

[JonnyBanana]

Als WiWi Kasper hab ich kein Wort verstanden

[Gespenst]

“Das ist richtig schöner Autismus.“
Bei dem Satz musste ich lachen, aber es stimmt. 😂

[maximvs]

Beim Kapitel „Vom Sinn der Zahlen“ hatten wohl die meisten so ihre Schwierigkeiten - bis auf Peter anscheinend. Schön, dass mal ein Video dazu kommt, denn Herr Wangenheim erwähnte das Kapitel meist auch nur beiläufig.

[bekoe]

Es gibt auch den kategorientheoretischen Ansatz Mathematiken zu erklären. Dort merkt man noch klarer was das eigentliche Problem bei diesem theorisieren über Theorien ist. Man kann über die Kategorie der Kategorien, der Kategorien etc. reden, ist dann aber im infiniten Regress. Das wird dann häufig erklärt indem man doch wieder Mengenlehre als grundlegender annimmt, oder man vereinfacht gesagt axiomatisch einfach einen Schnitt sieht und in gewisser Weise anerkennt dass es einfach nicht weitergeht. Das finde ich beides sehr platonistisch, weil es eben doch darauf zurückkommt dass etwas nunmal einfach wahr bzw. objektiv ist. Im ersten Fall wäre das die Mengenlehre und Axiomatik an sich, also die Art und Weise Dinge so zu beschreiben, die grundlegend einfach existiert.


Man könnte auch sagen, dass man an dem Punkt an dem man Mengenaxiome oder Axiome für Elementartopoi akzeptiert (auch wenn man sich welche auswählen kann um dann eine spezielle Mathematik zum Beispiel ZFC aufzubauen) eben schon überhaupt erstmal die Existenz und Sinnhaftigkeit von Axiomatik voraussetzt. Wenn alle Mathematiken aus Axiomen und Mengenlehre oder Kategorien aufgebaut werden oder aus Elementartopoi heraus gebaut werden würden, wäre dann nicht genau diese Struktur das Objektive, hierarchisch Höhere daran, was sich dann induktiv nach unten weiterzieht?
Mehrere widerspruchsfreie Mathematiken anzuerkennen, die unter anderen Axiomen entstanden sind, kann für mich genauso platonistisch sein wie die Anerkennung der Existenz von C-Moll und C-Dur.


Man kann natürlich auch einfach agnostisch bzgl. den ganzen Grundlagen der Mathematiken sein und sie nur wie Werkzeuge benutzen, ohne zu hinterfragen ob die Werkzeuge konstruiert wurden, oder zum existenten Gefüge der reinen Wahrheit der Schöpfung gehören. Was mir auch sympathisch ist, weil dies das Nachdenken häufig undogmatisch, effizienter und manchmal sogar schöner macht.

[Eigene_Thesen]

15:35 habe Tractus-Logico Philosophicus gelesen jedoch nichts von Russel, ich habe generell nur die Hälfte verstanden, jedoch die wichtige Hälfte.

[antoniusnies-komponistpian]

Sehr interessant. So ungefähr die erste Hälfte kannte ich als Mathematikstudent schon, aber die zweite Hälfte mit Gödel noch nicht in der Ausführlichkeit. Das Halteproblem mit Beweis kenne ich aber, nur der Beweis überzeugt mich nicht, weil ich einen Flüchtigkeitsfehler vermute. Werde mich vermutlich bald nochmal damit genauer beschäftigen, ich finde es ehrlich gesagt spannender als Lineare Algebra und Analysis.
Man merkt, dass du von Mathematik mehr Ahnung hast als von Ausländern und Transgender 😅 und fände es daher schön, wenn du deinen Content ein bisschen in die Richtung verlagern würdest.

[joostpalucki]

aber das mit der parallelen stimmt ja, die kann zwar überall im raum liegen, aber zwei parallele geraden im raum haben ja immer den selben einheitsvektor

[antoniusnies-komponistpian]

Du verwechselst den Satz vom ausgeschlossen Dritten mit dem Satz vom Widerspruch. Der Satz vom Widerspruch ist
nicht (a und nicht a)
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten ist
a oder nicht a
Vor allem letzterer wird oft in Frage gestellt, ersterer eigentlich wenig

[CM-bqfp]

mal 15 Minuten jmd zuzuhören um den Beweis des Gödelsche Unvollständigkeitstheoriem erklärt zu bekommen wäre schon schön gewesen - Trotz einem Duzend Vorlesungen in Allgebra, Analysis und Numerik habe ich das nämlich nie angeschaut. Leider hat Min 30-40 mir das hier nicht vermittelt : wenn man anhand von Beispiel argumentiert, hier "Gleichungen mit einer Variable, x²=3, x=log(x-1), dann sollte man es komplett an dem Beispiel durchziehen, z.B. -

[DarkrarLetsPlay]

Ich konnte allem folgen, das Thema kannte ich schon.

Ob jetzt bejahtes oder verneintes Auswahlaxiom, ob du das Teil so oder so herum einbaust, warum folgert man jetzt daraus, dass es keine Wahrheit hinter der Mathematik geben kann? Wir Menschen (oder Aliens) drücken unsere Eindrücke und Erkenntnisse auf eine Weise aus, die nützlich und funktionell ist. Wer sagt denn, dass unsere Sprache (im weitesten Sinne des Wortes) überhaupt dafür geeignet ist? Was die Welt im Innersten zusammenhält, ist wohl seltsam.