Jahrgangsstufentest 10. Klasse – DIN A4 Blatt

Jahrgangsstufentest 10. Klasse
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man die Ähnlichkeit der DIN A4 und A3 Formate verwenden kann, um eine Gleichung aufzustellen und zu beweisen wie sich die Verhältnisse der Seitenlängen verhalten. Mathematik einfach erklärt.

0:00 Einleitung – Jahrgangsstufentest
0:09 Aufgabenstellung
1:16 Ähnlichkeit
2:43 Gleichung umstellen
6:30 Bis zum nächsten Video :)

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[ThePirzo]

Danke dafür. Macht immer wieder Spaß die Aufgaben alleine zu probieren und es dann mit deiner Lösung zu vergleichen. Wünschte ich hätte in der Schule damals die gleiche Motivation und Freude gehabt, wie bei deinen Videos.

[ABC-Projekt]

Schöne Aufgabe, einmal mehr vielen Dank für deine tollen Videos!

[unleqitgamer]

Hey, ich wollte nur anmerken, dass du echt viel Themen rund um 10-13te klasse hast, was echt super ist, wollte aber fragen, ob du auch mehr in Richtung uni Mathe machen kannst. Danke

[robbylehmann]

Ich habe mir das als Schüler mal selber hergeleitet, weil ich wissen wollte, warum man am Fotokopierer 141% beim Vergrößern bzw. 71% beim Verkleinern auf das jeweils nächste Papierformat einstellen musste. Die Faktoren sind natürlich dann Wurzel von 2 bzw. der Kehrwert davon.

[schnuffelchen]

Interessant (und eigentlich auch recht einfach) stelle ich mir auch die Aufgabe vor, die Maße eines DIN A4-Bogens mathematisch selbst herleiten zu lassen: Ein DIN A0-Bogen besitzt die Fläche von exakt 1 m², ein DIN A1-Bogen die Hälfte dessen, ein DIN A2-Bogen die Hälfte dessen, ein DIN A3-Bogen die Hälfte dessen und ein DIN A4-Bogen die Hälfte dessen, sprich 1/16 m², wobei sich die Breite zur Länge wie 1 : √2 verhält. Daraus ergibt sich, dass die Breite √(1.000.000/16/√2) ≈ 210 mm beträgt und die Länge das √2-fache dessen, also ≈ 297 mm.

[marie-juhanna]

Coole, kleine Aufgabe. Interessant ist noch, dass Wurzel 2 die einzige Zahl ist, bei der der Kehrwert das gleiche ist wie die Hälfte der Zahl. Deswegen funktioniert die Halbierung bzw es kommt Wurzel 2 ala Faktor raus.

[markusnoller]

Hallo Susanne,

hier mein Vorschlag:
statt (Quadrat-)Wurzel schreibe ich sqrt
zunächst muss a und b jeweils größer Null sein, weil sie Längen (Strecken) repräsentieren)

Bei allen DIN Ax-Formaten ist das Verhältnis zwischen Höhe und Breite gleich.
(folgt aus der (gegebenen) Tatsache, dass die Rechtecke ähnlich sind.)

Es gilt also:
2a / b = b / a beides ist zulässig, da a und b > 0 sind.

1) 2a / b = b / a |* a/b
1.1) 2a^2 / b^2 = 1 | Wurzel ziehen. Nur positive Lösung relevant, da sowohl a als auch b > 0 sein müssen.
1.2 ) sqrt(2) * a / b = 1 |*b/a
1.3) sqrt(2) = b / a |<=>
1.4) b / a = sqrt(2)

LG auch an Thomas und deine Schwester aus dem Schwabenland.

[DonButt-vrwd]

Lustig, genau das gleiche Beispiel hatten wir letzte Woche in technischer Kommunikation, nur dass unser Lehrer da 'ne halbe Stunde lang rumgeeiert hat, bis er aufn Punkt kam. 😅

[karlnapp]

Die Begründung liegt schon in der Definition des Formats DIN A0 begraben, aus der sich alle anderen Formate ( A1, A2, A3, ...) ableiten. Es handelt sich um 1 m² (meistens Papier) der im Seitenverhältnis 1:√2 definiert wurde. Daraus ergibt sich dann auch das auf den ersten Blick "krumme" Seitenformat von 841 x 1189 mm. Mit jeder Halbierung des Blatts wird der Flächeninhalt ebenfalls halbiert. Eine beliebte Rückfrage von mir wenn jemand etwas "doppelt so groß" ausgedruckt haben möchte ist dann "doppelte Achsengröße oder doppelte Fläche?" Bei einer Verdoppelung der Achse "springt" das Format um 2 Zahlen, aus DIN A4 wird zum Beispiel DIN A2, bei einer Verdoppelung der Fläche nur um 1 Zahl (A4 wird zu A3).

[sabinedietzel]

Man kann auch Überkreuz multiplizieren. Dann kommt raus
b^2 = 2•a^2
Anschließend durch a^2 dividieren:
b^2 : a^2 = 2
Anschließend Wurzel ziehen:
b:a = Wurzel 2

[gelbkehlchen]

Lösung:
Durch die Ähnlichkeit gilt:
lange Seite des großen Blattes zur langen Seite des kleinen Blattes, wie die kurze Seite des großen Blattes zur kurzen Seite des kleinen Blattes, also:
2a/b = b/a |*b*a ⟹
2a² = b² |√() ⟹
b = √(2a²) = a*√2 ⟹ b/a = a*√2/a = √2

[Nikioko]

A0 ist 1 m² im Verhältnis 1:√2, gerundet auf den nächsten mm.
Entsprechend ist An 2⁻ⁿ m² im Verhältnis 1:√2, also A4 = 1/16 m² = a² · √2. Nach a aufgelöst ergibt sich: a = 1/(4 · ⁴√2) ≈ 0, 210 m, bzw. a · √2 = √2/(4 · ⁴√2) ≈ 0, 297 m.

[ronny]

DIN A 4 ist genau die Hälfte von DIN A 3. Die Breite des DIN A3-Bogens ist identisch mit der Länge des DIN A 4-Bogens. Allerdings fehlen die 2. Seitenlängen, um die Fläche zu berechnen, da man eine rechteckige Fläche Länge × Breite berechnet.

[teejay]

Zum einen hätte ich die Ähnlichkeit genau anders herum benutzt, um sofort auf einer Seite der Gleichung "b/a" stehen zu haben. Und zum anderen hätte ich aus "b/a * b/a" sofort "(b/a)²" gemacht, ohne den Umweg über "b²/a²" zu gehen - man weiß ja schließlich, wo man hin möchte.

[minotaurus]

Man kann auch die Verhältnisse grün/orange oder orange/grün gleich setzen. Das kann man auch entsprechend umstellen sodass das gewünschte Ergebnis heraus kommt.

[ElvisSaturn]

"Verhältnisse der Längen sich entsprechenden Seiten stimmen überein": 2a/b = b/a (multiplizieren den linken Zähler mit dem rechten Nenner und umgekehrt) -> b² = 2a² -> (b/a)² = 2 -> b/a = √2 (Berücksichtigung von -√2 fällt aus, da sich um Längen handelt)

[RolfGräser]

Hast du eine Verhältnisgleichung mache daraus zunächst eine Produktgleichung!
Dies war der Hauptsatz meines Mathe-Lehrers....
Diese Methode habe ich bei dir noch nie gesehen, gibt es dafür einen bestimmten Grund?

[joeviolet]

Ich habe die Gleichung etwas anders aufgestellt und zwar im Hinblick darauf, dass die beiden Seitenlängen in dem DIN A3-Blatt und in dem DIN A4-Blatt im gleichen Verhältnis zueinander stehen müssen: 2a/b (DIN A3) = b/a (DIN A4), darf man hier problemlos machen, da a und b Strecken sind und die sind nicht nur ungleich 0, sondern immer > 0.
Dann bin ich im Prinzip gleich vorgegangen wie Du, nur schneller. Multiplikation mit b: 2a = b²/a, Division durch a: 2= b²/a², Wurzel gezogen: Wurzel aus 2 = b/a. Negative Wurzel kommt nicht infrage (dass a und b Strecken und daher > 0 sind, habe ich weiter oben schon gebraucht).
Jetzt köntest Du auch noch die genauen Längen von a und b herleiten, wenn Du berücksichtigst, dass die Fläche eines DIN A0-Blattes genau 1 m² ist. Das überlasse ich jetzt aber Dir für ein neues Video irgendwann wenn Du willst und bin gespannt, wie Du das ggf. machst.

[BangOlafson]

Antwort: "ist halt so" :)

Die Antwort ist in der Definition dieser DIN-Reihe... A0 sollte genau 1m2 groß sein. Gleichzeitig sollen alle Formate zueinander ähnlich (also proportional) sein.