Un trapezio mette in crisi le scuole medie

Oggi vi propongo un quesito che è stato proposto nella prova comune in 3 classi di terza media di un Istituto, e solo 2 ragazzi su 72 sono riusciti a risolverlo. Perché? Quali sono state le difficoltà? Li vediamo insieme in questo video.

[HectorCaims]

Esercizio risolto a mente, secondo me la cosa più facile da fare definire x la prima incognita, y la seconda e h l'altezza. Applicando Pitagora a destra e sinistra, lasciando i quadrati e non le radici si ottengono 2 equazioni
x^2+h^2=169
y^2+h^2=196
Sottraendo la prima alla seconda equazione
y^2-x^2=27
La differenza di quadrati è la somma per la differenza, la somma è 9 per la differenza delle basi del trapezio, la differenza tra y e x viene fuori 3.
Somma 9, differenza 3, risultato 3 e 6.
Seguo con interesse questo canale, ma se siamo messi così prevedo un bel declino....

[maddalenamiglietta]

In terza media non credo che si facciano tutti questi calcoli

[fabiopesci]

Secondo me le radici ci stanno, più che altro perchè il loro uso corrisponde al modo di fare dei ragazzi di 13-14 anni... anche il ragionamento di eliminarle e uguagliare i soli argomenti, a quel livello di scuola, non sempre è automatico. Provato con mia figlia che sta finendo le medie. Grande prof. Grazie 1000

[rkls]

Non c'era bisogno di utilizzare le radici quadrate nella prima uguaglianza. Persino l'enunciato del teorema di pitagora parla di uguaglianza tra quadrati. Il metodo piu semplice e diretto comunque mi pare quello descritto da @KingofUrukhai in altro commento.

[KingofUrukhai]

Magnifico Prof: le radici quadrate proprio no, direi....
Poiché le due altezze siano eguali, vien fuori la relazione :
Bk^2-AH^2 = 196 -169 e di seguito
( BK + AH) * (BK-- AH) = 27....e poi
BK+ AH = 19-10 = 9 e di conseguenza: 9 * ( BK -- AH ) = 27 da cui BK --AH = 3.
Ora ponendo le due espressioni come segue :
BK --AH =3 e
BK +AH = 9 si ricava facilmente per somma e sottrazione. membro a membro BK = 6 e AH = 3 !!!
SENZA l' USO DI RADICI!!!!
Cuntent???? 😊😊😊

[Claudio_Bruzzone]

Penso che non fosse così facile per ragazzi di terza media individuare la strategia risolutiva; è tutt'altro che immediata.
Io di getto, prima di vedere il video per intero, ho accostato tramite l'altezza i due triangoli ADH e CKB. Si ottiene un triangolo del quale si conoscono i 3 lati (13-14-9). Con la formula di Erone (si insegna alle medie?) ho ricavato l'altezza DH=CK e poi con Pitagora i due segmenti ignoti.
Certamente il metodo del video è molto più snello.
EDIT:
Esplicito il procedimento che ho seguito perché mi dicono che la Formula di Erone venga presentata alle scuole medie e quindi nel bagaglio di conoscenze di uno studente di terza. Il procedimento non necessita di equazioni e/o sistemi di equazioni.
Unendo i 2 triangoli ADH e CKB con le altezze DH e CH coincidenti, si ottiene un triangolo scaleno con lati: 13-14-9.
Applicando la Formula di Erone:
Semiperimetro = 18 u.
Area Triangolo = √(18*5*4*9) = √(3240) = 18√10 u.²
Altezza = 2*18√10/9 = 4√10 u.
AH² = 13²-(4√10)²= 169-160 = 9 ==> AH = √9 = 3 u.
BK = 9-3 = 6 u.

[danloz]

Il problema è abbastanza facile per chi sa impostare un sistema di equazioni, faccio ripetizioni di matematica da 25 anni ormai e in 3a media questo argomento non viene trattato.
Si poteva risolverlo piano piano con la geometria ma era obiettivamente un problema difficile per uno studente di 3a media (PS ti dico che avrebbe messo in difficoltà anche studenti di seconda liceo)

[gabrielebariletti]

se fai il calcolo per h^2 ti eviti la rogna delle radici.

Mi spiego:

DH = CK = h => h^2 = 169 - x^2 = 196 - (9 - x)^2 =>

169 - x^2 = 196 - (81 -18x +x^2) => 169 - x^2 = 196 - 81 +18x -x^2 => 169 - x^2 -196 + 81 -18x + x^2 = 0 =>

54 = 18x => x = 54/18 => x = 3

quindi

AH = 3
BK = 6
AH + BK = 9

C.V.D.

[bingkong]

non banale per la scuola media, spero che il prof sia all' altezza di un tale esercizio

[donatonigro]

Soluzione alternativa: su calcola h passando dall'area del triangolo di lati 9, 13 e 14 con la formula di Erone, e quindi determinando AH e KB con il teorema di Pitagora, ma forse non è alla portata di ragazzi di III° media.

[Paparra]

Non mi sembra proprio un esercizio da scuola media.. tanto è vero che su 72 studenti solo 2 lo hanno risolto

[lampre]

Enucleo il rettangolo CDHK di dimensione 10 * h, rimangono i due triangoli laterali che unisco.
Si avrà un triangolo con i lati 13, 14 e base 9.
Ricavo l’area ( Erone ) e l’altezza ( h= 2A/9)
Ricavo AH ( Pitagora nel triangolo AHD ) e analogamente KB ( Pitagora nel triangolo KBC ) o per differenza a 9.
Cordialità

[davidestranieri]

Uguaglianza fra i 2 quadrati, non si può usare ?

[gnakkiti]

Io non ricordo alle medie robe del genere ma parlo di 45 anni fa.
In compenso ho trovato la soluzione lo stesso, grazie Emilio Casati 😂

[lordinelli]

L'unica condizione di esistenza è che l'argomento del radicale sia maggiore o uguale a zero.

[davidecremona]

Insegno alle medie e in terza non ce la fanno. Come esercizio guidato ok

[giuseppegodono]

I ragazzi "conoscono" Pitagora.
La somma dei quadrati costruiti sui cateti é uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa

ÁH =x
BK =9-x
DH²=CK²

DH²=AD²-x²
CK²=BC²-(9-x)²
Sostituendo e uguagliando
13²-x²=14²-(81-18x+x²)
-x²+81-18x+x²=196-169
-18x=-54
x=3