ИНТЕРНЕТ-ОЛИМПИАДА ДЛЯ ДЕВУШЕК!

В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BK, около треугольника KBC оисана окружность, которая пересекает гипотенузу в точке M. Найдите периметр треугольника ABC, если МВ=2, КС=1.

[SB-]

Вчера комментировал:
*Известен простой и полезный факт: если биссектриса острого угла отсекает на втором катете половину первого катета, то треугольник подобен*
*египетскому.* *Доказывается очень легко.* *коэффициент подобия 2/3, поэтому Р = (2/3)*(3+4+5)=8.*

[samadobrota]

Давно уже не школьник, но всегда с интересом решаю Ваши задачи! Спасибо за труд👋

[arxippp-lbtv]

Огромное спасибо за систематизированное подробное решение задачки. Как раз для нас, ‘школоты’.

[Студент-щм]

Была задача для средних умом с квадратной головой, а эта для умов с треугольной головой.

[reforma]

Спасибо! В школе очень любил геометрию! А сейчас с удовольствием вспоминаю растеряные знания

[alexeychernyshev]

1. Тр-ки AMK и АВС подобны: MK/AM=BC/AC; откуда 2AM=1+AK
2. По св-ву бис-сы: (2+AM)/AK=2/1; откуда 2AK=2+AM
3. Решая два ур-я совместно, получим, что AK=5/3; AM=4/3
4. Периметр Р=2+2+1+5/3+4/3=8

[AllZo-ukgk]

Дз. Не знаю про теоремы, давно был в школе. Но есть 2 равных треугольника с площадью 1*2/2=1.
Пифагорим гипотенузу. Пусть она и будет теперь основанием. Считаем высоту.
Ответ 4/5*√5

[ПётрЧихун]

Треугольник АМК подобен треугольнику АВС с коэффициентом 1/2. Если периметр АВС = z то периметр АМК = z/2
Имеем (z\2) - 1 +1 + 2 + 2 = z
z/2 = 4
z = 8

[Alexandra_Marchenkova]

По построению ВК — это диаметр окружности. Соединим точки М и К. Угол ^КМВ=90°, т.к. опирается на диаметр КВ.
∆-ки КМВ и КВС равны между собой по 3-м углам и общей гипотенузе. Поэтому
МВ=ВС=2
МК=КС=1
Рассмотрим подобные ∆-ки АВС и АМК (^А - общий, ^АМК=^АСВ=90°, ^АКМ=^АВС, т.к. сумма углов ∆-ка равна 180°).
Но прежде введем обозначения
АК=а
АМ=в
АВ/АК=АС/АМ=ВС/МК
(в+2)/а=(а+1)/в=2/1
Запишем систему 2-х уравнений
в+2=2а (1)
а+1=2в (2)
Из уравнения (2)
а=2в-1 (3)
Подставим в уравнение (1) вместо а правую часть уравнения (3)
в+2=2(2в-1) ➡️ в=4/3
Из уравнения (3) находим
а=2×4/3-1=5/3
Р(АВС)=АВ+АС+ВС=
(2+4/3)+(1+5/3)+2=8 💐

[АнатолийВикторов-хл]

Проведём отрезок КМ.
∠ВСК=∠ВМК, так как ∠С=90◦ и тогда ВК--диаметр, а следовательно ∠ВМК=90◦.
⊿ ВСК=⊿ ВКМ (∠ВСК=ВМК=90◦, ∠СВК=∠КВМ, ВК--общая гипотенуза);
ВМ=ВС=2.
АМ=х; АВ=АМ+ВМ; АВ=х+2.
АВ/ВС=АК/СК (свойство биссектрисы треугольника);
АК=(АВ*СК)/ВС; АК=((х+2)*1)/2; АК=(х+2)/2.
АС=АК+СК; АС=(х+2)/2+1; АС=(х+4)/2.
АВ²=АС²+ВС²; (х+2)²=((х+4)/2)²+2²;
х²+4х+4=(х²+8х+16)/4+4;
4х²+16х+16=х²+8х+16+16;
3х²+8х-16=0; х=(-4+_√16+48)/3=(-4+_8)/3; х(1)=-4--не является решением задачи;
х=4/3; АМ=4/3; АВ=2+(4/3)=10/3; АС=((4/3)+4)/2=8/3;
Р=АВ+АС+ВС; Р=10/3+8/3+2=18/3+2=6+2=8; Р=8.
Ответ: Р=8.

[pojuellavid]

Опять 1001 вариант.
Что на ум взбрело. Проведем МК. Два равных прямных треугольника. МК=1 и ВС=2. "Коэффициент биссектрисы" = 1/2. Система а) АМ+2=2*АК, б) АМ^2+1=АК^2
АК=5/3, АМ=4/3. Р=4/3+2+2+1+5/3=8
Ответ:8

[alfal]

2y = x + 2 (свойство биссектрисы)
2x = y + 1 (ABC подобен AKM)
x + y = 3

[ОлегПолканов-дн]

Решения не смотрел, пришлось изрядно повозиться.
Получился периметр 8.
Проведём МК.
Угол КМВ прямой потому что ВК диаметр, потому что угол С прямой.
Тогда имеем два подобный треугольника, где 2/МК = ВС/1. Заменил МК на х и ВС на у. Вывел что х=2/y (1)
С другой стороны крутим два Пифагора через гипотенузу ВК и сразу приравниваем суммы квадратов катетов:
х^2 + 4 = y^2 + 1
Вставляем х из (1) уравнения. Получаем уравнение 4 степени:
y^4-3y-4=0. Заменяем y^2 на t. По Виета имеем два корня для t: -1 и 4. Поскольку решаем в обычных цифрах -1 не подходит. Значит y это -2 или 2. Но y это расстояние, значит только 2, значит х = 1, а значит треугольники не только подобны, но и равны.
После чего крутим ещё подобные треугольники:
∆АВС подобен ∆ АМК
угол В = 2a, тогда угол А = 90-2а, тогда угол МКА = 2а.
Выводим два пропорции:
(АМ+2)/АК = 2/1 => АМ+2=2АК
(АК+1)/АМ = 2/1 => АК+1 = 2АМ
Подставляем одно в другое получаем что АМ = 4/3, АК = 5/3.
Итого периметр: 4/3+2+2+1+5/3 = 8

[rv]

Через свойство биссектрисы и формулу биссектрисы там вообще устно решается, но здесь явно рассчитано на те классы, где либо обеих формул либо формулы биссектрисы еще не знают.

[adept]

Через тангенс половинного угла решается в два действия. Подобен египетскому с коэф. 2/3, искомый Р = 2/3 от Р египетского.

[constantinfedorov]

MK = KC = 1; BC = BM = 2; △AMK ~ △ABC; MK/BC = 1/2; Я обозначаю стандартно AB = c; AC = b; тогда AM = b/2; AK = c/2; => c/2 = b - 1; b/2 = c - 2; просто складываю, b + c = 6; P = 8.

[ТатьянаШер-фу]

Все проще. Коэф подобия равен двум .зачем все усложнять?

[zawatsky]

ДЗ: площадь прямоугольного дельтоида равна произведению боковых сторон при прямом угле (катетов), она же - произведению диагоналей (как основания на двойную высоту). 1*2=√5х, откуда х=2/√5.

[Студент-жб]

Надо бы разобрать признаки египестого треугольника.
А то sin30°=1/2 не надо доказывать, а
tg(B/2)=1/2
почему-то надо.