Чётные и нечётные функции, их свойства и графики

Чётная функция — это любая функция, область определения которой симметрична относительно нуля, и при этом f(-x) = f(x). Проще говоря, в противоположных точках функция принимает одни и те же значения.
Классические примеры: квадратичная функция (любая степенная функция с чётным показателем — отсюда и название), модуль.
Нечётная функция — это любая функция с симметричной областью определения, для которой f(-x) = -f(x). Другими словами, значения функции в противоположных точках тоже противоположны.
Классические примеры: линейная функция и любая степенная функция с нечётным показателем. В частности, третья степень, график которой — кубическая парабола.
Все остальные функции, которые не подходят под эти два определения, называются функциями общего вида.

Всё это алгебра 9 класс.

Исследование функции на чётность и нечётность выполняется в два этапа:
1. Проверяем область определения функции. Выясняем, является ли она симметричной. Если есть асимметрия — дальнейшие проверки не нужны.
2. Вычисляем значения функции в противоположных точках: f(x) и f(-x). Если они совпадают, то функция чётная. Если противоположны, это означает нечетность функции.

Основные свойства чётных и нечётных функций:
1. График чётной функции симметричен относительно оси OY (осевая симметрия);
2. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия).

Особый интерес представляю графики чётных функций. С их помощью можно решать сложные задачи с параметрами и уравнения, которые не решаются стандартными приёмами. Чётные функции используются при графическом решении задач, а также в методе мажорант, когда мы рассматриваем левую и правую часть уравнения как функции и обнаруживаем, что их области значения пересекаются лишь в одной точке.

Кроме того, исследование функций на чётность / нечётность входит в математический анализ и помогает чертить графики функций и понимать их поведение.

Небольшое пояснение насчёт школьной математики. В некоторых учебниках исследование функций на чётность — это алгебра 8 класс. В других — это программа 9 класса. Часто чётные функции проходят вместе со сдвигами графиков, но последовательность тут не принципиально: можно сначала разобраться с чётностью, а затем изучать сдвиги, а можно поступить наоборот.

00:00 0. Ключевые определения
06:01 1. Простые задачи
15:52 2. Задачи посложнее
21:20 3. Исследование области определения
35:21 4. График чётной функции
46:46 5. Задачи с параметром

Меня зовут Павел Бердов, и я веду этот канал для тех, кто изучает школьную математику 7—11 классов (алгебра, геометрия и стереометрия), готовится к профильному ЕГЭ по математике (или ОГЭ), а также изучает высшую математику в университете (в т.ч. уровня мехмата МГУ). Помимо теории предлагаю вашему вниманию задачи для самостоятельного решения. Поэтому смотрите, изучайте, решайте — и сдавайте экзамены и контрольные работы на пятёрки.:)

[blackmaths]

Сейчас немного поработаем над алгебраическими задачами из ЕГЭ / ОГЭ, а затем нас ждёт кусок геометрии. Кому какие темы из геометрии (планиметрия, стереометрия) интересны?

И ещё такой вопрос: интересен ли разбор вариантов из сборников ЕГЭ / ОГЭ под авторством Ященко, Лысенко и т.д.? Там есть достойные задачи, но в целом всё стандартно.:)

[poluektpoluektovich]

Павел, вы отличный преподаватель. Ваши лекции помогли и еще помогут куче студентов. Не страшно, если вы не будете снимать новых видеоуроков - вы уже сделали достаточно. Просто хотел сказать, чтобы вы знали.

[soreal]

Павел потихоньку возвращается, мы все этого ждали

[mishanyapo]

Ну вы меня прямо радуете через три дня сразу новый видос.

[ВикторМишин-эб]

Недавно я нашел вас канал, но был очень расстроен, что вы его забросили.Но я очень рад вашему возвращению

[ayasha]

вообще не могла понять что тут происходит, но после вашего объяснения задачки за минуту решила. огромное спасибо!

[СтасКарасёв-гы]

Павел, новое видео!, спасибо! Да еще и по нужной теме) Павел, а вы случайно не планируете сделать видео насчет критерия Коши? Очень хотелось бы от вас про него услышать!

[valentinaburshtein]

Добрый день, Павел!
Значение нечетной функции при х=0 ?

[ОляВласова-пу]

Здравствуйте Павел, я учусь на экстернатной основе и мне очень тяжело понять теми по алгебре и понятно что я не понимаю и геометрию, после моего выпуска прошло уже 22года и тут меня с роботы посылают на учебу я согласилась но не думала что все будет так плохо, первая тема числовые функции и я их не могу понять.помогите если это возможно.

[hardwork]

Павел добрый день! Подскажите в какой программе пишите?

[mikitakliashchonak]

19:48 в последней строчке ответа в двух числителях 2х+1, когда как в условии в числителях знаки разные. Это не ошибка разве?

[Напутикреологии]

могли бы вы что-нибудь рассказать про Хаусдорфово пространство?

[phonkabuser]

да все понятно с одним аргументом, а если их несколько f(x1, x2, x3) четная когда f(x1, x2, x3) = f(-x1, x2, x3) = f(-x1, -x2, x3) = всем комбинациям?

[tajikistan]

Павел Бердов а почему у вас все время утка?

[libalakisibala]

Скажите, у=0 эта четная и нечетная функция?

[shinn]

Я как то раз на пробнике объяснил поведение параболы в 17 задаче через чётность. Угадайте, сколько мне поставили за неё баллов? Ха, 3/4. «Необоснованное построение графика параболы»