QUI EST LE PLUS GRAND ?

Nouvelle question à traiter en moins de 2 minutes.
Sauras-tu comparer ces deux fractions ?

[carlvanhevel]

Cher Monsieur,

J’ai maintenant 58 ans et suis avocat en Belgique. En secondaires supérieures, j’ai choisi l’option math fortes, ce qui correspond sauf erreur à math sup dans votre système français. Cela fait donc 40 ans que je n’ai plus fait de math. J’ai découvert vos vidéos par hasard et c’est un réel bonheur que de tenter de vous suivre avec cette mémoire totalement rouillée en math qui est la mienne. Merci pour tout ce que vous faites. J’admire vos talents de pédagogue. Heu… une stupide question. Ne pouvait-on d’emblée dans cet exercice éliminer les « + 1 » ? Je suis vraiment rouillé n’est-ce pas ? Bien à vous et encore merci. Carl

[patrickl.]

Toujours aussi clair...avec le sourire en prime 👌

[antohrg]

Intuitivement, j'ai pensé et admis la propriété suivante (d'ailleurs ce serait intéressant de savoir si elle vraie, et la démontrer) :

Pour des entiers naturels x<y<z
On a : x/y < y/z

Donc intuitivement, celle de droite l'emporte puisque l'on a 10^18 < 10^19 < 10^20


Édit: il se trouve que la propriété est fausse si l'on prend x=3 y=5 z=10

[impulseace]

Eh bah j avais pas les détails mais la bonne intuition ! Merci pour la démonstration. Continuez comme cela c est super !

[julientripon]

Je ne l'ai pas senti d'instinct. Mais j'ai "simplifié" le problème.
(1^0+1)/(1^1+1) = 2/11
(1^1+1)/(1^2+1) = 11/101
Donc clairement, moins la puissance est élevée, plus ça augmente l'impact du 1
Donc A>B

[ZZ-kojb]

Alors moi j’aurais pas du tout fait pareil:
On sait que:
10^19<10^20
<=> 10^19 +1<10^20 +1
<=> 1/(10^19 +1)>1/(10^20 +1)
Et en multipliant par un nombre positif on obtient:
(10^18 +1)*1/(10^19 +1)>(10^19 +1)*1/(10^20 +1)
Et ainsi on obtient l’inégalité souhaitée ie:
(10^18 +1)/(10^19 +1)>(10^19 +1)/(10^20 +1)

Et pour l’inégalité de départ on l’obtient facilement avec une récurrence évidente sur: pour tout n un entier naturel, 10^n<10^(n+1)

[Ordrim]

Sans parvenir à le démontrer je parierais sur le membre de gauche. Mais votre démonstration est clair et efficace, compréhensible surtout. 😊

[abinadvd]

Petite remarque, quand on vous demande si A>B,
Posez A= qq chose et B= l'autre chose. Puis calculez A-B.
Vous ne baladerez ainsi pas le symbole > (ou autre <, <=, = ...)
C'est purement technique. Vous aurez A-B=un truc puis, A-B= un autre truc, ...
A la fin vous concluez par A-B>0 (ou autre) donc A>B
Ca évite de s'emméler les pinceaux.

[quetzalrc]

J'ai posé (10^x+1)/(10^(x+1)+1) vs (10^(x+1)+1)/(10^(x+2)+1).
J'ai étudié le cas avec x = 0 ce qui donne 2/11 vs 11/101.
En croisant les dénominateurs j'obtiens 202 vs 121.
J'en déduis en prenant un gros raccourcis que c'est le terme de gauche qui est le plus grand.

[lebalrog]

Bonne vidéo, par contre moi j'ai utilisé une autre méthode :
J'ai multiplié par 10 des deux côtés du coup je me suis retrouvé avec du (10^19 + 10)/(10^19 + 1) à gauche et (10^20 + 10)/(10^20 + 1) à droite.
Ainsi on peut écrire à gauche (10^19 + 1 + 9)/(10^19 + 1) et à droite (10^20 + 1 + 9)/(10^20 + 1) ce qui se simplifie par 1 + 9/(10^19 + 1) VS 1 + 9/(10^20 + 1)
Cela revient à comparer 9/(10^19 + 1) et 9/(10^20 + 1) et puisque 10^20 est plus grand que 10^19 on en déduit que 9/(10^19 + 1) est plus grand que 9/(10^20 + 1) et donc que le terme de gauche est plus grand 👍

[jean-michelriviere]

Je m'y suis pris sans faire de calcul !
Ajouter le même chiffre au numérateur et au dénominateur fait toujours rapprocher une fraction vers 1, et ceci d'autant plus que le chiffre qu'on ajoute est grand par rapport au numérateur et dénominateur.
Avec ceci en tête, on voit de suite sans les 1, que les fractions sont égales, inférieures à 1 et que celles de droite a des nombres plus grands. Donc celle de gauche est plus proche de 1 si on ajoute 1 en haut et en bas.
Réponse : celle de gauche.
Pas besoin de calcul.

[philippechataignon]

a/b > c/d <=> ad > bc, ce qui revient à comparer (10^18+1)(10^20+1) = 10^38 + 10^20 + 10^18 + 1 à (10^19+1)^2=10^38 + 2*10^19+1 et comme 10^20 + 10^18 = 101*10^18 > 20*10^18, on est dans le cas où la fraction de gauche est la plus grande.

[TheMrOuf]

En appliquant la fameuse propriété oubliée que tu aimes bien rappeler c'est plus simple.
Si on scinde chaque fraction en 2 on obtient :
10^18 / (10^19 + 1) + 1 / (10^19) VS 10^19 / (10^20 + 1) + 1 / (10^20)
Sans calculer mais en utilisant les ordres de grandeur on remarque que 10^18 / (10^19 + 1) et 10^19 / (10^20 + 1) font tous les deux environ 1/10 (quand on est à l'ordre du milliard de milliards le +1 est négligeable).
En revanche 1 / (10^19) est 10 fois plus grand que 1 / (10^20).
La première fraction SEMBLE donc (parce que j'ai rien démontré) être la plus grande.
"Si on veut aller vité à la réponse en mode QCM"

[tonypires]

Ok pour la démonstration
Pour l'intuition, en raisonnant par les masses : 10^18 / (10^19 +1) ~ 10^19/(10^20 +1) soit en gros 1/10, donc ça se joue sur le +1 au numérateur et (1 / 10^19) > (1 / 10^20) d'un facteur 10, donc celui de gauche est plus grand :)

[derjudge]

C'est pas plus facile en faisant la dérivé de ((x+1) / (10x+1)) ?

[yassinehosni]

Instinctivement celui du gauche paraît le plus grand.
Mais c'est une superbe vidéo qui fait travailler les méninges ✅

[hamadalandaloussi]

Rien à dire et redire t'es le number 1 en France mashallah quelle logique

[ph.so.]

A gauche : un truc avec 18 zéros divisé par un truc avec 19 zéros.
A droite : un truc avec 19 zéros (plus grand d' un zéro mais égal à la puissance du truc de gauche qui divise) qui est divisé par un truc encore plus grand de un zéro.
Celui de droite est certes plus grand que celui de gauche mais divisé par un truc encore plus grand. Donc, il y a de grande chance que celui de gauche soit plus grand que celui de droite. (Le + 1 a une quantité insignifiante par rapport à l'ensemble, mais il est moins divisé à gauche qu'à droite; donc gauche a toutes les chances d'être plus grand que droite si les fractions "sans le 1" sont égales, en fait.
C'est comme si on a à comparer 10 divisé par 100 avec 100 divisé par 1000. Aprés il reste les "1" : à gauche, 1 sera divisé par 100, et à droite par 1000. Donc, même en cas d'égalité de la fraction sans 1, celle de gauche est plus grande avec le un. Même de peu : 20x, c'est pas énorme par rapport à l'ensemble...

[noa]

Réponse intuitive :
En multipliant en haut et en bas par 10 à la fraction de gauche on a :
(10^18 + 1)/(10^19 + 1) = (10^19 + 10)/(10^20 + 10)

il suffit de soustraire 9 en haut et en bas pour obtenir la fraction de droite ; or on voit que cette soustraction est davantage négligeable devant 10^20 + 10 que 10^19 + 10, donc qu'elle affecte davantage le numérateur, ce qui va donc diminuer la valeur de la fraction.
On a donc bien gauche > droite !

[Papillombre]

Je me suis dit que 1+1/10+1 est beaucoup plus grand que 1000+1/10000+1 par exemple, et donc qu'en toute logique le nombre de gauche devait être plus grand que celui de droite.