Topologie 7-3 : Correction des exercices

Mikhail, Albin Egasse, Séraphin, Alex, 123IMPRIM, Agnès Villates, Oz, pcmslb, Anonyme, Fabrice Winckel, Jag, VINCENT, Frederic, Damien Bily, Manuel, Melgrin, Metalbib, Julien Riposo, Tom, Annaëlle Lecompte, Yohan François, PeterPhi, Nicolas, douglas40, Carla, Cicatrice, Mouloud, Jérome, asma, france, Sabrina, Emma, Eikichi, Olivier, Fabien, Etienne, kundalini, Professeur, Rida, Asli Grimaud, Fab, Elvis, Jérome, STEEVE, Beche, Pierre Guérin, FlorenceM, Hélène, pacigrav, Philippe, Kuider K, Philippe, camiller, Loïc, Zauber, Ramdam, Guillaume, Romlab, Yacine, Abdellah, Fred, Karim, Bruno, Lucie, elisabeth, ilias, Alice, ladr78, Julian, Emeric, Mafalda, mohamed, Philippe Cornet, Delphine A, Malik, Carrocel, LDevilliers, Luc, Odile, Gillian Seed, Laurence, Manon54
❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️

[MrAlfarazdaq]

Hello Prof,
Les exercices sont essentiels pour nous. Un grand merci d'avance pour ne pas nous laisser sans exercices :-).
Avant, quand j'entendais parler de la topologie, cela me faisait peur car tout le monde disait que c'était vraiment dure. Mais avec vos cours et les exo, j'arrive à comprendre tout. A propos, je n'ai pas fait de licence de maths (thèse en Automatique) mais comme je suis passionné par les maths, je y vais avec plaisir. Merci infiniment pour votre travail trop rigoureux, claire qui simplifie des trucs mêmes ils sont parfois dures.

[p.tkm]

J'ai hâte de voir la suite du cours de topologie général sur cette chaîne 😍🙏

[yassinetichichte]

Vous ne pouvez pas imaginer jusqu'à quel point vous m'avez aidé au sein des classes préparatoires, de l'École Centrale Casablanca et actuellement pour la préparation d'une agrégation interne. Je vous remercie infiniment pour vos efforts.🙏🙏🙏

[mathematiquefacile]

quel explication merci infiniment
monsieur est ce que vous pouvez nous faire une playlist sur la différentiabilité dans un evn..

[elhadjiyeryndiaye]

la deuxièmes implication de l'exo7.7 est superb

[alainrodot]

Pour le 7-2 question 2) on écrit l'inégalité triangulaire avec x dans E, a dans A et b dans Adh(A) quelconques, on trouve directement que d(x, A) - d(x, b) est inférieur à d( b, A ) qui est nul, on en déduit ainsi la seconde inégalité sans aucun epsilon. Si on veut détailler: d(x, a) inférieur à d(x, b) + d(b, a) donc d(x, A) -d(x, b) est inférieur à d(b, a) pour tout a dans A, donc d(x, A) - d(x, b) est inférieur à d( b, A) = 0 ( d'après la première question). Ainsi d(x, A) est inférieur à d(x, b) pour tout b dans Adh(A), donc d(x, A) est inférieur à d( x, Adh(A)) . CQFD pour cette deuxième question de l'exo.

[sebastienkramer]

Surtout bien continuer de proposer des exercices corrigés. Il n'y à rien de tel que la pratique pour ancrer les concepts et bien les comprendre...

[alainrodot]

exercice 7:2 : avec un peu d'anticipation sur la continuité, V_r (A) est aussi l'image réciproque d'un ouvert de R par la fonction continue (et même uniformément) x -> d(x, A)

[alainrodot]

Pour l'exercice 7-4- 2) il suffit que U soit ouvert et V quelconque disjoint de U: aucun x de U ne peut être dans l'adhérence de V, car pour tout x de U, U est un voisinage de x qui ne rencontre pas V (par hypothèse). Cela suffit aussi pour la conclusion de l'autre question. Une hypothèse un peu moins forte suffit donc pour cet exercice.

[alainrodot]

7:4- 1) on peut dire aussi que si un ouvert O dans A contient un élément x, cet ouvert O ne rencontre pas B, donc x n'appartiendrait pas à l'adhérence de X, donc pas à E. Contradiction.

[alainrodot]

7:3 on peut aussi repartir du fait déjà vu que le complémentaire de l'intérieur du complémentaire est l'adhérence.

[MrAlfarazdaq]

Hello,
Pour la question 1 de l'exercice 7.4, pour démontrer que A° =B°=phi. J'ai fait le raisonnement par l'absurde suivant :
Supposons que x appartienne à A°, donc il appartient à A et donc il n'appartient pas à B car A et B sont disjoints, cela implique que x n'appartient pas à l'adhérence de B qui est l'ensemble E. Contradiction :-)

[ElioGuardiola-Falco]

j'ai réussi à être plus rapide pour certains hihi

exercice 7.3
1)



exercice 7.6
2) soit x dans E
--d(x, adh(A))<=d(x, A) obvious
--soit y dans adh(A) alors pour tout a dans A
d(x, a)<=d(x, y)+d(y, a) donc en prenant l'inf pour les a dans A :
d(x, A)<=d(x, y)+d(y, A)=d(x, y) donc en prenant l'inf pour les y dans adh(A) :
d(x, A)<=d(x, adh(A))


exercice 7.9
3)
vide=U inter E\U=adh(U inter E\U)=adh(U inter adh (E\U)) [E\U fermé]
vide=adh(U inter E\int(U))=adh(U\inter(U))
donc U\int(U)=vide et U=int(U) donc U ouvert