МЕДИАНА И БИССЕКТРИСА - НИЧЕГО ЛИЧНОГО! Найти гипотенузу.

Медиана делит катет на отрезки длины 1, биссекстриса другого угла составляет с катетом угол, как и медиана с другим катетом. Найти гипотенузу.

[МихаилАнтонов-еи]

Здравствуйте, нашёл почти устное решение : на продолжении ВС за точку С отложим CD = MC ; BD = 3 ; пусть ВК пересекает AD в точке Е, a - величина трёх равных углов ; угол BKC= углу АКЕ = 90 - a ; угол DAC = a = > угол АЕК = 90 = > BE - биссектриса и высота тр ABD => тр ABD - равнобедренный => AB = BD = 3

[SB-]

Моя любимая аналитическая геометрия на самом простом уровне. Координаты точек : C(0, 0), B(0, 2), A(a, 0), K(b, 0), M(0, 1). По этим координатам вычисляем угловые
коэффициенты прямых ВК, ВА и АМ. А далее, применяя формулу угла между прямыми и приравнивая углы, получаем два уравнения : b/2 = 2∙(a – b)/(a∙b+4), a∙b = 2 .
Отсюда легко получаем : а = √5 ⟹ АВ =3. Для меня главное, что это чисто техническая и несложная работа. Не нужно терять время на экзамене любого уровня и искать
"красоты". Решение заняло менее 10 минут. Красивые решения можно и нужно искать только в условиях неограниченного времени.

[SergeyZaitsev-pn]

Довольно легко решается через тангенс двойного угла. Нужно выразить нижний катет через большой треугольник и через нижний. Потом приравнять.

[MrArcan]

Мое устное решение:
AB = x
AC^2 = x^2 - 4
Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные другим сторонам. Поэтому CK = 2k, AK=xk
AC^2 = (x+2)^2 * k^2

x^2 - 4 = (x+2)^2 * k^2
(x-2) * (x+2) = (x+2)^2 * k^2
k^2 = (x-2) / (x+2)

Треугольники ACM и BCK подобны по двум углам. Поэтому AC/BC = CM/CK
(x+2)*k / 2 = 1 / 2k
k^2 * (x+2) = 1
Но k^2 = (x-2) / (x+2)
(x-2) / (x+2) * (x+2) = 1
x - 2 = 1
x = 3

[mikhailkadomtsev]

Да, тоже не нашел простого геометрического решения, поэтому решал через тангенс двойного угла.

[closer_to_the_unknown]

Рассмотрим треугольники АСМ и СКВ. Обозначим розовые углы как а и найдем tg(a)
тр. CKB: tg(a) = СК/BC
тр. ACM: tg(a) = MC/AC
Получается, что CK/BC = MC/AC (1)
Теперь заметим, что треугольники BCK и ACM подобны по двум углам (общий угол B и равные a)
Тогда можно расписать их подобия
CK/CM = BC/AC (2)
Составим систему уравнений из (1) и (2), подставив численные значения
CK/2 = 1/AC; CK/1 = 2/AC
Решая систему получаем, что CK = 1; AC = 2
Но тогда СК - и медиана, и биссектриса, а значит тр. АВС равнобедренный, и при этом АВ = ВС, т.е. углы С и ВАС по 90 градусов, что явно не так
И судя по всему, у меня где-то лажа, которую я в упор не вижу, так что маячу о помощи

[ЛюдмилаКолосова-вр]

Тр. КМС подобен АВС, угол МКС равен углу В, из пропорции получаем такое же уравнение, Решая, получаем 3.

[AlexeyEvpalov]

Нашёл решение, как у Михаила Антонова, только уже зная ответ 3. Спасибо за интересное видео.

[ЛЮДМИЛАГРОМАКОВА-гя]

Большое спасибо. Очень понравилось Ваше решение. Я шла другим путем, через свойство биссектрисы и подобие треугольников. О свойстве биссектрис, проведенных из одной точки, не догадывалась:)
Тригонометрически для меня проще

[constantinfedorov]

Я решал тем же путем, потому что равенство углов сразу наводит на мысль об окружности. Но способ счета иногда бывает важнее идеи решения. Смотрите, я обозначу AK=a, остальные обозначения Ваши. Тогда a/y = x/2; y(y+a)=2; Если умножить эти уравнения друг на друга, то a(y+a)=x; если это сложить со вторым уравнением, то (y+a)²=x+2; по теореме Пифагора (y+a)²=x²-4; откуда x²-x-6=0; x = 3 (второй корень очевидно отрицательный). Три простейших манипуляции с элементарными уравнениями, и сразу ответ. Можно еще больше упростить, x+2 = x² - 4; 1 = x -2; x = 3, и квадратное уравнение не надо решать.
PS. Я проверил, в более общем случае, если, например, AM - не медиана, то AB = BC + CM;
PPS. А вот, оказывается, можно решить совсем просто (зная ответ :)) Если продлить BC за точку C на CM - пусть это точка N, а биссектрису продлить до пересечения с AN - пусть это точка Q, то ABCQ вновь окажется вписанным по той же причине - отрезок CQ виден из A и B под равными углами. При этом AB окажется диаметром этой окружности, так как ∠ACB прямой => ∠BQA тоже прямой, => △ABN равнобедренный, AB = BN = BC + CM. Это, конечно, наиболее изящное и простое решение, и - полностью геометрическое.

[Александр-отв]

По Пифагору нижний катет будет sqrt(x^2-4). Треугольники с гипотенузами медиана и биссектриса подобны, откуда нижний катет треугольника с гипотенузой биссектриса равен 2/sqrt(x^2-4). Тогда АК будет x^2-6/sqrt(x^2-4). Квадрат биссектрисы по её теореме равен 2*x^3-2*x^2-8*x+12/x^2-4. Но также по Пифагору квадрат биссектрисы равен 4*x^2-12/x^2-4. Приравниваем, и получается уравнение x^3 - 3*x^2 - 4*x + 12 = 0. Откуда х=3 (решать можно хоть Виетом, хоть Лобачевским, хоть Кардано, хоть даже графически).

[ilyasakhundzada]

Конечно, теорема о секущих очень интересная (и..экзотическая), но, по мне, решение - неэлегантное.
А с тригонометрией -проще: угол МАС= a, AC= 1/tan a= 2/ tan (Pi/2 -2a), отсюда cot a= 2 tan2a, sin a=1/sqrt 6. Далее, cos2a= 2/3, x= 2:(2/3)=3.

[alexanderchentsov]

Для решения можно задействовать: 1) подобные треугольники АСМ~ВСК по двум углам, 2) свойство биссектрисы, которая делит противоположную сторону АС на отрезки, отношение которых равно отношению соответствующих прилежащих сторон, т.е. АК/КС=АВ/ВС. Ну, и, конечно, 3) Пифагор для треугольника АСВ. Составляем три уравнения с тремя неизвестными АС, КС, АВ:
1) ВС/АС=КС/МС; МС*ВС=КС*АС; 1*2=КС*АС; КС*АС=2; 2) ВС/АВ=КС/АК=КС/(АС-КС); 2*(АС-КС)=КС*АВ; 3) АВ^2=AC^2+BC^2; АВ^2=AC^2+4. Решая систему из трех уравнений, находим АВ. Кстати, на рисунке можно увидеть еще два подобных треугольника: АКN~BMN, где N - точка пересечения медианы и биссектрисы.

[pojuellavid]

Никаких построений и не сложней кв уравнения с целыми коэфф.
АС=к, патамушта это универсальный коэфф. в двух парах АС/МС=ВС/СК=к и АВ/АК=ВС/СК=к
1. х^2=к^2+4
2.АК=к-2/к
3. (к -2/к)/х=(2/к)/2
Из последнего к*2=х+2. Подставляем в первое. х^2=(х+2)+4.
Ответ:3

[tsaiis]

Очень поучительная задача! Проводим медиану СЕ(О--тчк пересеч. с АМ). Розовые углы=а, желтый угол=в. АВ=х. ОС=х/3(х/2*2/3). Углы МОС=ОМС(90-а=180-(90-а+2а). ОС=МС=х/3=1. х=3

[vkr]

Сначала решил идейно похоже, но затем дожал интересное (на мой взгляд) решение, дорисуем окружность, дуги АВ-КМ=180 (угол АСВ полуразность дуг), значит если за точку В отложим дугу ВР=КМ то дуга РА=180 и РА диаметр и угол АВР прямой, продлим РВ до пересечения продолжения АС в точке L, получим треугольник ВСL подобный МКС с коэфицентом подобия 2, ВL=2КМ=2АК, СL=2КС, LB=LK как внешние части секущих LA и LP c одинаковыми хордами (АК=ВР), следовательно 2АК=3КС следовательно АК/КС=3/2 и по свойству бисектрисы АВ=3!

[gennadiy_basar]

Отзеркалить AMC по стороне AC и продлить BK до пересечения с AM'. Получим прямой угол и равнобедренный треугольник с сторонами 3.

[math]

Очень нравятся Ваши задачи. И очень выросла решая их. Каждый раз начиная решать, думаю, что не решу, настолько они оригинальные. Но решение приходит само собой.
Мое решение: Первый пункт совпал с Вашим. Далее из т.К провела Ʇ к АВ ( точка С1). Δ-ки КВС и КС1В равны по стороне и двум углам. Значит С1В = СВ = 2, КС = КС1. Т.к. АК = КМ, то Δ-ки АС1К и КМС равны по трем сторонам, отсюда АС1 = МС = 1. Искомая АВ = АС1 + С1В = 1 + 2 = 3.

[ДмитрийИвашкевич-ят]

Обозначим угол МАС α, тогда угол ВАС равен 90°-2α
tg(90°-2α)=2tgα
cos2α/sin2α=2sinα/cosα
cos2α=4(sinα)^2, но по формуле косинуса двойного угла cos2α=1-2(sinα)^2
cos2α=2-2cos2α, , отсюда cos2α=2/3
AB= BC/cos2α=3

[ВерцинГеториг-чь]

АВ=Х, АС=У, Х*2-У*2=2*2, Тр-ки ВСК и АСМ подобні по двум углам КС/ВС=МС/АС, КС= ВСхМС/АС=2х1/У . По свойству биссектрисы АВ/ВС =АК/КС, Х/2=(У-2/У)/2/У, Х=У*2-2,
У*2=Х+2, подставляя в первое уравнение - Х*2-Х-2=4, Х*2-Х-6=0, Х1, 2=1/2+-\/1/4+6 =1/2+-5/2, Х=1/2+5/2=3, второе значение не может удовлетворять условия задачи .