Самый сложный 13-ый номер ЕГЭ 2020

#ЕГЭ #Математика #13_задача #теория_чисел #олимпиады #моргенштерн

[turakut]

Админ забыл сказать, что это задания с реального егэ из параллельной вселенной

[МатематическийприветсАэрокоса]

Чем ближе ЕГЭ, тем легче номера у Поступашек)
Если задания из ОММО были из 3го класса советской школы
Вопрос, откуда взялись такие номера?))

[MaximumDo]

По-моему очевидно, что метод вспомогательного аргумента говорит о максимуме cosx+sinx в корень из двух. Соответственно x+pi/4=pi/2+2pik, но при этом cos8x = 1 => x = pi*n/4 => x=pi/4+2pi*m

[mrcat]

Дак это сложнее дви в мгу... Да, значит уровень егэ по базовой математике

[Pavel-zdod]

Самый лёгкий номер выпускного дет сада

[Hamyrappy]

Понял что творится лишь с третьего захода, видимо надо срочно повторять тригонометрию

[МаксимАндреев-щб]

Очевидно, |cos 8x cos x + sin x|^2 <= ( |cos x| + |sin x| )^2 = 1 + |sin 2x| <= 2, поэтому равенство возможно лишь при |sin 2x| = 1, 2x = pi/2 + pi*k, x = pi/4 + pi*k/2, тогда 8х = 2 pi + 4 pi k, cos 8x = 1, в левой части cos x + sin x, чтобы сумма равнялась sqrt(2), и синус и косинус должны быть положительны, поэтому подходит только x = pi / 4 + 2 pi k

[Alexander_Goosev]

Можно тупо решить квадратное уравнение относительно cosx, заменив
sinx=√(1-cos²x). Перед корнем только +, т.к. иначе sinx≤0 и
cos8x•cosx=√2-sinx≥√2, что невозможно, т.к. косинусы по модулю≤1.
При этом cos8x рассматриваем как параметр:
√(1-cos²x)=√2-cos8x•cosx.
Возводим обе части в квадрат:
1-cos²x=2-2√2•cos8x•cosx+cos² 8x•cos²x.
Переносим все члены в правую часть и группируем:

Решаем квадратное уравнение относительно cosx, рассматриваем cos8x как параметр:

=-sin²8x.
Ясно, что дискриминант не может быть отрицательным. Значит, sin8x=0 и D=0.
Т.к. sin8x=0, то наш параметр cos8x=±1.
Заменяем cos8x на ±1 в квадратном уравнении и получаем (D=0):
cosx=±√2/2, откуда x=π/4+kπ, т.е. все π/4 через π.
Но нам ещё нужно, чтобы sinx≥0, иначе добавятся лишние отрицательные значения.
Ответ: x=π/4+2nπ.

[jamil.ziganshin]

Вопрос, а нельзя отдельно посмотреть решения, когда cos8x = 1, и когда cos8x=-1?
В таком случае было бы следующее:
x=πk/8, k э Z.
Просто не совсем понятно как перешли от выражения cos8x=±1 к выражению cosx+sinx=√2.

[guiterenzog]

0:56
Почему? Формулу вспомогательного уравнения знаю, но почему это так?

[massimo]

Ну да, это такой, идейный номер 13. Надо помнить, что sinx+cosx не превосходит √2

[АндрейКукса-фж]

оценку не понимаю, скажите что посмотреть на ютубе, пожалуста

[komi_mort]

х = pi/4 сразу ответ пришёл. Как бы sqrt(2) это 2 раза по sqrt(2)/2, арксинус которого pi/4.

[defilt]

Там разве не sqrt(cos^28x+1)>=sqrt(2)?

[ДжастинВивер]

Как такая оценка вообще может существовать? (разве косинус и синус могут одновременно равняться 1?)

[alexventurel]

Я знающий формулу Муавра делаю бррррррррррррр

[МихаилДоманин-ян]

А можно на егэ использовать факт, что sin+cos<=sqrt(2) без вывода?

[lumold]

а не легче много раз использовать формулу двойного угла и выйти на что нибудь?

[lusorslek]

Почему меньше или равно корень из a2+1? Как до этого дойти?

[Marianna..M]

Дичь. На еге метода оценки быть не может