Числовые подсчеты ▶ №209 (Блок - интересные задачи)

Разбор интересной задачи.

[larsseverin]

крассавчик) я примерно прекинул объем задачи, и понял что она далеко не так проста как кажется сначала.

[grigoryborisov]

Я решал также, но от лишних нулей избавлялся по столбцам, начиная справа. В первом разряде 1 лишний, во втором 10 лишних, в n-ом 10^(n-1) лишних нулей. По сумме геометрической прогрессии всего (10^n-1)/9 лишних нулей.

[Uni-Coder]

Арифметико-геометрическая прогрессия. Формула там есть, несложно выводится

[romank.]

Кстати, в ходе решения образовалась новая интересная задачка: найти сумму конечного ряда k*a^k по k от 1 до N. Можно еще усложнить: найти сумму ряда k^m*a^kb по k от 1 до N для m=1, 2, 3... По-моему, вполне достойна отдельного ролика.

[Dushark]

Достаточно 2-х цифр - 0 и 1, в каком количестве, считать не хочу. Но если перевести 10^2023 в двоичную систему и посчитать количество знаков. То с очень большой вероятностью понадобится n-1 единиц и столько же нулей. Хотя нет. Точно понадобится выше написанное количество единиц и нулей. Т.к. максимальное число чётное - то в конце у него стоит 0 и тогда все цифры точно не могут быть единицами.
Считаю задачу решённой в переменных. Вычисления не обязательны.

[СергейБаранов-рт]

От умственного перенапряжения так устал, что даже не могу придумать интересный комментарий. Задача, конечно, простая, но голова у меня, как тогда в школе, пустая...

[romank.]

Причесать количество нулей очень просто. Во-первых, 9*2023*Sum[10^(k-1), {k, 1, 2022}] - это сумма геометрической прогрессии и равна она 2023*(10^2022-1). То есть, когда мы это число вычтем из первого слагаемого, то получим 2023. Осталось к нему прибавить 9*Sum[k*10^(k-1), {k, 1, 2022}]. Для этого определим функцию f(x)=Sum[10^(kx), {k, 1, 2022}]=(10^((k+1)x)-1)/(10^x-1). Тогда искомая сумма равна 9/10*df(x)/dx*1/log(10). Производную естественно считаем в точке x=1. Получаем ответ: (2021*10^2022 - 2022*10^2021+1)/9+2023. Это количество нулей.

[velodanc]

Всё? Вот я из добавленных нулей вижу трапецию площадью (2023+1)/2*10^2023.
Может проще его отнять.