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Kosinussatz (Mathe-Song)
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Ein Lied über den Kosinussatz mit Herleitung und Anwendung.
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Liedtext zu Kosinussatz (Mathe-Song):
c^2=a^2+b^2-2ab∙cos γ
b^2=a^2+c^2-2ac∙cos β
a^2=b^2+c^2-2bc∙cos α
Dieser Satz gilt im allgemeinen Dreieck, wenn die Winkel α, β, γ und die Seiten a, b und c heißen.
Und gilt's mit a, b und c, dann geht das Ganze doch genau so auch mit c, a und b,
denn du kannst die Seitennamen tauschen, doch das Dreieck bleibt gleich
und daher sind drei Gleichungen als Kosinussatz eins.
Wie auch immer -- hast du mal ein Dreieck vor dir gegeben,
nach Kongruenzsatz SSS, durch die drei Seitenlängen eben,
dann kannst du durch den Kosinussatz auf einen Winkel kommen,
denn hoffentlich hast du mittlerweile mitbekommen,
dass der Satz die Relation zwischen nem Winkel und drei Seiten beschreibt
und damit bist du auch schon bereit.
Die drei Seitenlängen kennst du, setzt sie in die Gleichung ein
und schon fehlt nur noch der Winkel -- so soll das ja auch sein.
Nach dem stellst du dann um und hast ihn damit gefunden
und mit etwas Übung schaffst du das in wenigen Sekunden.
c^2=a^2+b^2-2ab∙cos γ
b^2=a^2+c^2-2ac∙cos β
a^2=b^2+c^2-2bc∙cos α
Ich hoffe mal, es ist jedem klar,
dass durch die Höhe über der Seite a
das Dreieck geteilt wird und rechte Winkel entstehen,
von daher kann ich den Satz des Pythagoras nehmen:
b^2=h^2+x^2 und c^2=h^2+(a-x)^2
Das stellen wir beides nach h^2 um und setzen gleich.
Aber fehlt da nicht der Kosinus? Kommt ja gleich, ich weiß,
aber erst mal wird hier (a-x)^2 addiert
und mit Binomischen Formeln a-x noch quadriert.
Das diente einem Zweck: Das x^2 fällt weg
und wie der Kosinus da rein kommt, folgt nun direkt:
Wenn ich hier das eine Teildreieck so seh,
dann ist cos(γ)=x/b
das heißt: x=cos(γ)∙b,
das setz ich ein und hab hier nur noch γ, a, b und c.
c^2=a^2+b^2-2ab∙cos γ
b^2=a^2+c^2-2ac∙cos β
a^2=b^2+c^2-2bc∙cos α
Akkorde:
Dm Bb F C Dm Bb F C/G
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c^2=a^2+b^2-2ab∙cos γ
b^2=a^2+c^2-2ac∙cos β
a^2=b^2+c^2-2bc∙cos α
Dieser Satz gilt im allgemeinen Dreieck, wenn die Winkel α, β, γ und die Seiten a, b und c heißen.
Und gilt's mit a, b und c, dann geht das Ganze doch genau so auch mit c, a und b,
denn du kannst die Seitennamen tauschen, doch das Dreieck bleibt gleich
und daher sind drei Gleichungen als Kosinussatz eins.
Wie auch immer -- hast du mal ein Dreieck vor dir gegeben,
nach Kongruenzsatz SSS, durch die drei Seitenlängen eben,
dann kannst du durch den Kosinussatz auf einen Winkel kommen,
denn hoffentlich hast du mittlerweile mitbekommen,
dass der Satz die Relation zwischen nem Winkel und drei Seiten beschreibt
und damit bist du auch schon bereit.
Die drei Seitenlängen kennst du, setzt sie in die Gleichung ein
und schon fehlt nur noch der Winkel -- so soll das ja auch sein.
Nach dem stellst du dann um und hast ihn damit gefunden
und mit etwas Übung schaffst du das in wenigen Sekunden.
c^2=a^2+b^2-2ab∙cos γ
b^2=a^2+c^2-2ac∙cos β
a^2=b^2+c^2-2bc∙cos α
Ich hoffe mal, es ist jedem klar,
dass durch die Höhe über der Seite a
das Dreieck geteilt wird und rechte Winkel entstehen,
von daher kann ich den Satz des Pythagoras nehmen:
b^2=h^2+x^2 und c^2=h^2+(a-x)^2
Das stellen wir beides nach h^2 um und setzen gleich.
Aber fehlt da nicht der Kosinus? Kommt ja gleich, ich weiß,
aber erst mal wird hier (a-x)^2 addiert
und mit Binomischen Formeln a-x noch quadriert.
Das diente einem Zweck: Das x^2 fällt weg
und wie der Kosinus da rein kommt, folgt nun direkt:
Wenn ich hier das eine Teildreieck so seh,
dann ist cos(γ)=x/b
das heißt: x=cos(γ)∙b,
das setz ich ein und hab hier nur noch γ, a, b und c.
c^2=a^2+b^2-2ab∙cos γ
b^2=a^2+c^2-2ac∙cos β
a^2=b^2+c^2-2bc∙cos α
Akkorde:
Dm Bb F C Dm Bb F C/G
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