ITA 2020 questão 51 (Questão do Dia) - 16/7/2021 (#012)

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A questão de hoje da série “Questão do Dia” é a de número 51 da edição 2020 do concurso vestibular do ITA (Instituto Tecnológico da Aeronáutica). Essa é uma questão muito interessante de Geometria Analítica, mas com algumas nuances de Geometria Plana: você tem que determinar as coordenadas do vértice A de um triângulo isósceles ABC de modo que a circunferência inscrita nele tenha raio 3. Para chegar lá, você vai usar uma semelhança de triângulos totalmente ninja...  Vamos estudar juntos? #matemática #aulaaovivo #estudematemática #emlive

[eduardoteixeira]

Obrigado. É interessante observar que a distancia PA é 5 + 3 = 8 e a distancia P O é 6 + √2, isto significa que se o ponto A fosse no sentido contrário o ponto A ficaria no 3 quadrante, a analise destas duas distancias demonstra isso, por isto que no enunciado se diz que o triangulo está no primeiro quadrante.

[AlexandreMachado]

Eu percebo o quanto eu amo matemática pelo fato de entender tudo. Tinha coisas específicas que não lembrava, mas está tão solidificada na minha formação que não tive problema algum.
Obrigado professor por compartilhar esse conhecimento, a gente só pode amar aquilo que conhece! 😊❤

[MCaaaaaaaa]

A elegância é inerente à matemática...

[pedrojose]

Quase que ia fazendo de novo! Esse problema me persegue.

[audeniralmeida]

Resolveria tudo por vetores e ficaria mais fácil e mais dinâmico. A geometria analítica remete ao conhecimento do mundo encantado dos vetores.

[pedrojose]

Vamos tentar uma resolução ou levar tinta!
De cara observa-se que os pontos B e C são os seu rebatimentos em relação a bissetriz do primeiro quadrante, representado por x=y. As respostas já dão essa moleza, no cardápio só há opção de resposta de pontos pertencentes a bissetriz do primeiro quadrante.
Vamos chamar de I o incentro do triângulo e de Ia, Ib e Ic os pés das bissetrizes relativas a A, B e C respectivamente,
Ia, pelo triângulo ser isósceles, é também o pé da mediana e portanto o ponto médio de BC logo :
Ia=(1+3raiz(2), 1+3raiz(2)) (i) BC=(6raiz(2), -6raiz(2) logo |BC|= raiz(2*72)=12 (ii)
O triângulo IAIc ~IaBA mas observemos que IaB tem comprimento =6 já que Ia também é o pé da mediana e IIc=r=3
Logo trata-se de dois triângulos retângulos semelhantes na razão 2 e em que um tem o lado 3, sugerindo um atalho, o terno pitagórico primitivo 3, 4 e 5. Se falhar resolve com equação irracional e segue o baile.
Colocando 4 como outro cateto no triângulo IAIc e 5 como hipotenusa, já fechamos. O triângulo maior fica com catetos 6e 8 e o menor 3 e 4, o que já garante a semelhança, sem preocupação com as hipotenusas.
Nota: Isso foi uma tentativa, não quer dizer que vá dar certo sempre. Embora, a frequência de acertos, seja alta.
Agora ficou fácil. Tomemos o vetor unitário paralelo a reta x=y que aponte para cima.
Todo vetor unitário é (cos(teta), sen(teta)), como x=y>0, temos teta =Pi()/4...u=1/2(raiz(2), raiz(2)) (iii)
A=Ia+(3+IA)*u Mas como vimos IA= 5 e (i) e (iii) A=((1+3raiz(2), 1+3raiz(2))+4*(raiz(2), raiz(2)= (1+7raiz(2), 1 + 7*raiz(2))
Resposta: C
A princípio julguei o problema de extrema facilidade pois anotei equilátero ao invés de isósceles. Aí era só achar as coordenadas do incentro e igualar a média aritmética dos vértices, só que não deu resposta e tive de voltar a prancheta.
Mas foi melhor, pois é um belo problema. Difícil para alunos responderem sobre pressão, devem estar bem afiados para resolver. Já foi o like antecipado. Agora ver o vídeo.

[veraluciamarquioriespindul]

Questão belíssima e muito bem desenvolvida.

[pedrojose]

Como é a vida! Problema bumerangue. Pensei que já o resolvera em outro canal e fui para o treino. Resolvi de uma forma mais complicada mas deu a mesma solução. Quando fui postar a solução, já o havia feito aqui,
Demorei até um pouquinho para entender a inspiração do atalho que pegara na resolução anterior.

[antoniodivinomoura]

Crystal clear! Didática super ! Congrats. 😊

[rodrigoh]

Na minha humilde opinião a geometria analitica e a área mais bonita da matematica

[lucianocirilolealgomes]

eu resolveria pensando diretamente no baricentro do triangulo, como ele coincide com o centro da circunferência iscrita, mas pra facilitar adotaria um eixo auxiliar

[rafaelrufino]

Chegando com quase 3 ajosbde atraso, mas tá valendo!
Qdo chegou nos triangulos de ângulo alfa era mais fácil perceber que as hipotenusas eram x e 2x, uma vez que os catetos menores eram um o dobro do outro.

[raphaelbastos]

Professor, no momento que o senhor eleva ao quadrado dos dois lados. Ao invés de desenvolver o produto notável como e senhor fez, poderia perceber que dentro da raiz é o produto notável da soma pela diferença (x+3)(x-3). Com isso o (x+3) cortaria e caia numa equação do primeiro grau e não do segundo como na sua resolução. O que acha?

[arturviana]

Parabéns pela resolução. Galileu estava certo.