Лекция №1 по Теории групп. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Богданов И.И.

[Ashpool]

НАПОМИНАНИЕ
01:22 (опр) Группа
02:55 (зам) Единственность нейтрального элемента, обратного элемента (б/д)
04:02 (опр) Абелева группа
04:24 (опр) Подгруппа
05:14 (слд) Свойства подгруппы, сразу следующие из определения (б/д)
05:57 (опр) Порядок группы
06:11 (опр) Порядок элемента
07:17 Соглашение об обозначениях
08:13 (прм) Целые числа, остатки по модулю n
08:29 (прм) Аддитивная и мультипликативная группы поля
09:05 (прм) Аддитивная группа векторного пространства
10:01 (прм) Полная линейная группа
11:18 (прм) Группа перестановок
12:26 (зам) Разложение перестановки в произведение независимых циклов (б/д)
12:52 (опр) Цикл
13:28 (опр) Независимые циклы
14:25 (опр) Транспозиция
14:49 (опр) Знак перестановки (два определения)
17:24 (зам) Знак произведения перестановок есть произведение их знаков (б/д)
18:32 (прм) Комплексные числа, по модулю равные единице в мультипликативной группе комплексных чисел
19:18 (прм) Специальная линейная группа в полной линейной группе
20:21 (прм) Группа ортогональных матриц в полной линейной группе над R
21:07 (прм) Группа унитарных матриц в полной линейной группе над C (поправка 21:48)
21:28 (тео) Теорема Кэли (б/д)
22:52 (опр) Изоморфизм групп
25:07 (опр) Подгруппа, порождённая подмножеством
26:56 (утв) Представление элемента подгруппы, порождённой подмножеством (б/д)
28:23 (опр) Циклическая группа
29:18 (утв) Циклическая группа изоморфна либо Z, либо Z_n (б/д)
29:56 (утв) Подгруппа циклической группы также циклическая (б/д)
30:17 (утв) Порядок элемента группы равен порядку порождённой им подгруппы (б/д)
31:42 (прм) Группа перестановок порождена множеством транспозиций
32:57 (опр) Обозначения произведения подмножеств, подмножества обратных элементов
34:20 (зам) Критерий того, что подмножество группы является подгруппой

СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ
35:55 (опр) Левый, правый смежные классы элемента по подгруппе
37:40 (утв) Критерии равенства смежных классов двух элементов (док-во 38:58)
42:15 (слд) Равенство смежных классов есть отношение эквивалентности двух элементов
44:22 Обозначение множеств левых смежных классов, правых смежных классов по подгруппе
45:28 (слд) Теорема Лагранжа
46:56 (слд) Порядок подгруппы делит порядок группы
47:23 (слд) Порядок элемента делит порядок группы
47:48 (слд) Малая теорема Ферма и теорема Эйлера
49:46 (утв) Множество левых смежных классов равномощно множеству правых (идея док-ва 50:25)
54:09 (опр) Индекс подгруппы
55:13 (упр) Индекс подгруппы подгруппы

НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ
57:19 (опр) Нормальная подгруппа (равносильные определения 58:53)
01:02:15 (зам) Ослабление условия нормальности подгруппы
01:04:16 (прм) Подгруппа чётных перестановок
01:06:17 (прм) Специльная линейная подгруппа
01:06:57 (прм) Пример подгруппы, не являющейся нормальной в группе перестановок
01:10:41 (утв) Пересечение двух нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа (док-во 01:11:10)
01:11:56 (утв) Умножение нормальной подгруппы на подгруппу и на нормальную подгруппу (док-во 01:14:54)
01:13:09 (зам) Произведение двух произвольных подгрупп необязательно подгруппа
01:19:42 (утв) Подгруппа индекса 2 нормальна (док-во 01:20:12)

[sunshine]

Большое спасибо за лекции! Учусь в иностранном университете, хоть и отлично понимаю язык, на русском языке все равно легче и приятней. Ещё раз спасибо :)

[barackobama]

Хрущев бы сказал про это Абстракционизм!

[Евгений-бфи]

Как доказать, что абстрактная группа порядка 4 абелева?

[iopium]

А где применяется теория групп? В плане на практике , какой-то узкий пример

[АнатолийБезразницы]

лекции это когда объясняешь, а не учебник с определениями переписываешь на доску.

[kzsgcx]

Господа! Ну как так. -?
Где intro ?
Brief overview???
- история теории групп.

Такое ощущение, что в вакууме все теории рождаются.