Aufnahmetest Mathematik von 1869 – Dreieck rechtwinklig

Aufnahmetest Mathematik am MIT
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man die Höhe und die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen kann. Wir verwenden den Höhensatz des Euklid, um diese Aufgabe zu lösen. Mathematik einfach erklärt.

0:00 Einleitung – Aufnahmetest Mathematik
0:31 Lösung
1:49 Höhensatz des Euklid
3:58 Satz des Pythagoras
6:19 Bis zum nächsten Video :)

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[sonic]

"Höhensatz" - immer wieder spannend bei dir zu sehen, was man alles vergessen hat. 😂
Danke für das Video

[m.h.]

Wenn man den Höhensatz des Euklid nicht kennt, kann man sich diesen auch selbst herleiten. Indem man drei mal den Satz des Pythagoras aufstellt und dann ineinander einsetzt.
Mit den im Video gegebenen Variablennamen sieht das so aus:
h² + p² = x²
h² + q² = y²
x² + y² = (p + q)²

Einsetzen von 1. und 2. Gleichung in die 3. Gleichung:
(h² + p²) + (h² + q²) = (p + q)²
2h² + p² + q² = (p + q)² |1.Binomische Formel
2h² + p² + q² = p² + 2pq + q² |-p² -q²
2h² = 2pq |:2
h² = p * q

[wernerdammbach]

Ich habe das einfach mit den Zahlen 3 und 4 und 5 gelöst, indem ich die jeweils mutipliziert habe. Großes Dreieck mit 5 => 25 20 15 ; das zweite mit 4 => 20 16 12 und das dritte mit 3 => 15 12 9. Auf die se einfache Weise konnte ich das relativ schnell mit Kopfrechnen lösen. Liebe Grüße und vielen Dank dir Susanne

[andreasspecht]

Hallo, immer schöne Aufgaben
Bei die Wurzel aus 9* 16 geht einfacher da 9 = 3*3 ist und 16 = 4*4 ist also ist die Wurzel 3* 4 = 12

Nur um es leichter zu machen

Bei denAufgaben habe ich immer schöne Erinnerungen an die damaligen Schultage

[juliodas]

Vielen Dank für die interessante Vermittlung der Mathematik.

Was ich unbedingt loswerden muss: ich wurde durch die Infos in deinem Youtube Kanal auf deine Band aufmerksam. Habe daraufhin die Alben in Spotify gehört. Hammer ! Du hast eine sehr schöne Stimme.

[klauswagner]

"Ist ganz gut, wenn man die Quadratzahlen im Kopf hat." Ohh ja. Das war vermutlich vor 50 Jahren oft mein Verhängnis.
Susanne, Deine Bemerkungen sind immer sehr hilfreich!

[sblutter]

Ich habe mein Ergebnis graphisch überprüft. Stimmt. Test bestanden. Ich habe meine gute Mathenote vor 50 Jahren wohl verdient. Und nun schaue ich mir das Video an, ob ich den selben Lösungsweg habe oder ob es auch anders geht.

[yveslecoadou]

Merci pour la vidéo, je vais donner le problème à mes élèves mais sans le théorème d'Euclide qu'ils ne connaissent pas. Ils feront tout avec le théorème de Pythagore :)

[KS-rhqq]

Hi, Es ist immer wieder ein positives Erlebnis deine Bespiele vorzurechenen bzw. dies zu versuchen. Ich habe versucht drei Gleichungen fuer drei Unbekannte aufzustellen, was zum Beweis vom Hoehensatz fuehrte! Folglich landete ich dort, wo deine Loesungdansatz anfing! Echt klug ausgesuchtes Beispiel. DANKE

[bonnbonn]

Ich habe es ohne den Höhensatz auch geschafft. Kam natürlich auch das gleiche raus 😂. Danke für das Video!

[juergend]

Das geht auch mit dem Satz von Thales recht schön. Vom Mittelpunkt der Basis ((9+16)/2 = 12, 5) zur oberen Spitze des Dreiecks ist die Länge ebenfalls 12, 5. (Thaleskreis). Damit kann man dann die Höhe einfach berechnen. Wurzel(12, 5^2 - 3, 5^2) = 12.

[Marton]

Ich hatte damals einen Mathelehrer, der nicht Lehramt studierte, sondern ein richtiger Mathematiker war.... Ich kann mich bis heute, an seinen Satz erinnern: "Schreibt euch die Quadratzahlen auf ein DIN A4-Blatt und hängt es im Klo auf. Wenn ihr aufs stille Örtchen müsst, dann schaut ihr drauf, ABER NICHT AUSWENDIG LERNEN!!! Das geht von alleine!"
Er hatte recht...

[murdock]

Nice! fast lane: q + p = c; a = √pc = 15 → b = √qc = 20 → h = √pq = 12 = ab/c

[carmenpalacios]

Euklid war neu für mich, wieder was gelernt

[willelektroauto]

Früher in der Schule, gahbs bei meinem Mathelehrer als "Strafarbeit" immer das Lernen von Quadratzahlen.
Sehr hilfreich beim Lösen solcher AUugaben 😁

[mckacktus]

Ja cool. Den Höhensatz kannte ich so noch nicht. Aber den Extraschritt nach 25^2 aufstellen und 2h^2 herausrechnen war jetzt auch nucht so umständlich. Da war ich völlig überrasch wie schnell ich h hatte. 😮
Nice Sache

[RS-mgdq]

Der HÖHENSATZ ! 🧐😬 Da war doch mal was... Danke, das Thema muss ich nacharbeiten...👍🙋‍♂️

[regmorusmath]

A short (but quite rigorously worked out) version for professionals who don't like formulas but like "recognizing things":

The two small triangles are both similar to the large triangle by the respective angle their share with it (and the right angles).

Being similar to the same triangle they are similar to each other.

Since they share the lot as their common side and are not equal, their similarity coefficient is not equal to 1, in particular the side corresponding to the lot in them is the respective line segment of the hypothenuse.

That gives a*9=1/a*16 for an a which gives a=4/3.

a=4/3 yields with the above considerations the lot L=4/3*9=12. We have now in the triangle with the 9, one leg equal to 9 and another equal to 12. We recognize that the numbers are up to the factor 3 those of the two of the side lengths of the egyptian (right-angled) triangle with sides equal to 3, 4, 5. Now having two legs differing from those of egyptian triangle by factor 3 (and the right angle) our triangle with the 9 is the egyptian triangle enlarged by 3. That is, its remaining side is equal to 15. Same way the triangle with 16 gives egyptian triangle enlarged by 4 which yields 20 for its remaining side.

That's how the case can be computed purely in mind without writing anything down or even sketching.

[markusnoller]

Hallo Susanne,

erst mal hoffe ich, dass Du gut in die neue Woche gekommen bist.
Einmal mehr lieben Dank für die Aufgabe und liebe Grüße auch an Thomas.
Allen anderen hier natürlich auch einen guten Start in die neue Woche.

Nun zur heutigen Aufgabe:

Als ich die Skizze zur Aufgabe gesehen hatte, dacht ich mir
Mist, da war doch was mit Höhensatz... verdamp lang her, verdamp lang, verdamp lang her...
Weil ich den im Moment nicht auf der Rille habe, hier mein Lösungsvorschlag ohne Höhensatz.

Da keine Einheiten angegeben sind, unterstelle ich "Längeneinheiten" (LE).
Zum Rechnen lasse ich diese jedoch weg.

Die beiden Schenkel des Dreiecks bezeichne ich mit a und b, die Höhe (das Lot, der Strecke, die das Dreieck aufteilt als d.
Die Eckpiunkte des großen Dreiecks seien von links nach rechts bzw oben gegen den Uhrzeigersinn A, B und C, Der Schnittpunkt des Lots durch C und der Hypothenuse (=längste Seite) des großen Dreiecks D
Die Strecke AC sei a, die Strecke CB sei b und die Strecke CD (das Lot) sei d.
(Ich weiß, dass die Streckenbezeichnungen meistens so gewählt werden, dass der Buchstabe der Strecke ein anderen ist, wie die Großbuchstaben der zugehörigen Punkte...) seht es mir nach 🙂
Somit gibt es die beiden kleineren Teildreiecke ADC, sowie DBC, welche jeweils die Strecke CD =d gemeinsam haben.

Da hier über Strecken gesprochen wird, glit zunächst a, b, d €R>0, also alle reellen Zahlen größer 0.
(Im weiteren Verlauf wird sich zeigen, dass Susanne die Aufgabe "ganz lieb" gewählt hat, also nir ganze Zahlen herauskommen.)

Aus der Aufgabenstellung heraus weiß man:
AD=9
DB=16

Für das linke Teildreieck ADC gilt nach Pythagoras
(1) 9^2 + d^2 =a^2

Für das rechte Teildreieck DBC gilt nach Pythagoras
(2) 16^2 + d^2 = b^2

Für das große Dreieck ABC gilt nach Pythagoras
(3) a^2 + b^2 = (9+16)^2

Jetzt kann man statt a^2 den linken Teil aus (1) und statt b^2 den linken Teil aus (2) in Gleichung (3) einsetzen und erhält:
(4) 9^2 + d^2 + ^6^2 + d^2 = (16+9)^2

Jetzt kann man alles was berechenbar ist ausrechnen. (Auch wenn das rechts wie eiene binom. Formel aussieht, braucht man diese hier nicht anwenden, da in der klammer ja nur 'richtige' Zahlen stehen 🙂
Danach bekommt man:
(4.1) 81+ 2*d^2 + 256 = 625 | -81, -256
(4.2) 2*d^2 =288 | :2
(4.3) d^2=144 | Wurzel ziehen
(4.4) d1/2 = +/- Wurzel(144) =+/-12

Da d eine Strecke repräsentiert, ist nur d=12 eine Lösung im Sinne der Aufgabe.

jetzt das gefundene d bzw d^2 in die Ausgangsgleichungen (1) bzw. (2) einsetzen um a bzw b zu berechnen

(1.1) 9^2 +144 =a^2 =81 + 144=225 =15^2 a somit 15 (auch hier wieder nur pos. Lösung relevant)
(2.1) 16^2 + 144 =b^2 = 256 + 144 =400 b somit 20 (auch hier nur pos. Lösung relevant)

Probe: (ich empfehle, die immer zu machen, um sicher zu gehen, dass gefundene Lösungen richtig sind.)
15^2 + 20^2 = (9+16)°2 Verglecihe Gleichung (3)
225 + 400 = 25^2 | <=>
625 = 625 wahre Aussage

LG aus dem Schwabewnland.