Mathe RÄTSEL Knobelaufgabe - Wie oft dreht sich der Kreis?

Diese Mathe-Aufgabe aus einem Aufnahmetest für Studierende (SAT: Scholastic Assessment Test) konnte 1982 in den USA niemand richtig lösen.

Ein kleiner Kreis wird einmal komplett um einen großen Kreis herum gerollt. Beide Kreise berühren sich dabei immer in genau einem Punkt. Der Radius des großen Kreises ist dreimal so groß wie der Radius des kleinen Kreises.

Die Frage: Wie oft dreht sich der kleine Kreis um sich selbst?

Vielleicht hätte die Aufgabe damals gelöst werden können, wenn die richtige Antwort unter den Antwortmöglichkeiten gewesen wäre.

[rafallub]

Die mathematische Erklärung wird klar, wenn man bedenkt, dass hier der Mittelpunkt des Kreises einen bestimmten Weg zurücklegen muss und nicht die Oberfläche des kleinen Kreises. Und der Mittelpunkt umkreist einen Kreis mit dem Radius 4 (3+1).

[Nikioko]

Der Mond hat eine gebundene Rotation, er zeigt also immer mit derselben Seite zur Erde. Scheinbar dreht er sich also nie, aber tatsächlich dreht er sich mit einer Erdumrundung auch einmal um sich selbst. Das ist dieses +1.

[YamiSuzume]

Da muss ich aber sagen, dass das keine wirkliche Erklärung ist, warum es genau einmal mehr ist. Klar, am Beispiel wurde das gezeigt, aber was ist der Mathematische Hintergrund?

[haraldkrunes]

🤔 Wie komme ich jetzt wirklich auf die Ableitung. Einfach magisch +1, weil ich 2 Münzen in meiner Tasche finde ist noch keine Gleichung.

[koelschgo]

Zeichne einen Kreis um die zwei Kreise, sodass dieser direkt durch den Mittelpunkt des kleinen Kreises geht. Der neue Kreis hat einen Radius von 4 und damit einen Umfang von 8pi. Wenn der kleine Kreis sich nun um den mittleren Kreis dreht, läuft er damit am großen Kreis genau entlang. Damit muss der kleine Kreis genau 8pi/2pi = 4 Umdrehungen machen.

[_KSR_]

sehr gutes und scheinbar einfaches Beispiel mit einer interessanten Lösung!

[thonburino]

Am plausibelsten wird es, wenn es mit einem n-eck berechnet wird. Addieren wir einfach die Umdrehungen, wobei die Umdrehung an den Ecken größer ausfällt. Beispiel: Beim Quadrat haben wir folgende Winkel: = 1.440 Grad = 4 Umdrehungen - Für das n-Eck gilt, daß die 360 Grad immer dazu addiert werden müssen analog der Eck-Winkel. Beim 3-Eck also 120 Grad, beim 5-Eck 72 Grad, beim n-Eck 360/n. Es wird also immer eine volle Umdrehung dazuaddiert. Analog gilt, wenn der kleine Kreis sich innen im großen Kreis dreht, dann fällt 1 Umdrehung weg.

[Politikamende]

Wenn das Ei der Uni auch so war und alle durchgefallen sind warum schreibt man die richtige Lösung nicht mit hin?

[OpaSpielt]

Mein, ich bin nicht auf die richtige Lösung gekommen. Das ist aber auch ziemlich gemein, wenn die richtige Lösung nicht dabei ist. Richtig hinterhältig von den Prüfern, weil alle von Quizshows im Fersehen wissen, dass die richtige Antwort eigentlich immer dabei ist.

[JDark]

Nach langem hin und her denken muss ich sagen, dass diese Aufgabe im Grunde zwei Lösungen hat, einmal ist 3 richtig und bei anderen mal ist 4 richtig.
Vier wurde gerade etwas hier im Video erklärt, aber bastelte man sich zwei Kreise unterschiedlicher Größe, so kann man schnell sehen, warum meistens + 1 Umdrehung dazu kommt. Wichtig hierbei ist, dass man ein Außenbetrachter ist und entscheidet eine Umdrehung ist, wenn der originale Berührungspunkt wieder, als Beispiel nach unten zeigte. Dann bekommt man auch die 4 Umdrehungen, wie das Beispiel im Video zeigt.
Aber betrachtet man das ganze aus Sicht des größeren Kreises, ist eine Umdrehung nur dann, wenn der kleine Kreis auch wirklich den großen Kreis wieder berührt und das passiert nach 1/3 der Strecke und daher wäre auch die Antwort 3 richtig. Man ist in dem Fall nämlich auf einem gekrümmten Raum unterwegs und da verändert sich vieles.

[AliBaba-wrng]

Ehrlich gesagt hast du keine mathematische Lösung aufgezeigt! Du hast die + 1 Umdrehung durch ausprobieren angenommen.
Wo ist denn der Beweis, dass deine Annahme mit + 1 Umdrehung funktioniert wenn der Radius der mittleren Münze 3x größer ist ?

[hans-christianschulz]

Ich habe ein Modell gebaut mit Zahnrädern 75 und 25 Zähne. Das kleine Zahnrad dreht sich 4 x und zwar eindeutig um sich selbst, also um seine eigene Achse. Somit ist für mich die Fragestellung wie oft sich der kleine Kreis um sich selber dreht korrekt, wenn die Antwort 4 ist. Auch wenn man den 4. Kreis Als "Umlaufbahn" bezeichnen kann, so führt diese Bahn dennoch dazu, dass sich das kleine Rad um die eigene Achse dreht, da die Zahnräder ineinander greifen.

[benjaminfrainge]

Hey, kannst du mal noch erklären ob sich der Kreis innen dann 2x oder 3x dreht?

[Nikioko]

Das Jahr hat 365 Tage. In der Zeit dreht sich die Erde 366-mal um sich selbst.

[arise]

Das sieht auf den ersten Blick wirklich paradox aus und aus meiner Familie hätten auch alle spontan auf 3 getippt, mich eingeschlossen, zumal man ja so clever war, die richtige Lösung gar nicht anzugeben. Ich habe mir die richtige Lösung dann so veranschaulicht.

Ersetze beide Kreise durch Quadrate, das kleinere mit 1/3 der Seitenlänge des anderen. Die Quadrate berühren sich an einer Ecke, so wie die Kreise einander an einer Stelle berühren. (Sieht etwa so aus 🔷🔹, man stelle sich vor, dass die rechte Ecke des linken und die linke Ecke des rechten Quadrates sich berühren). Nun dreht man das kleine Quadrat um das große Quadrat, d.h. genau genommen kippt man es so, dass seine Seite auf der des großen zu liegen kommt. Dazu braucht es eine 90Grad-Drehung. An der Ecke, die nun auf dem großen Quadrat zu liegen gekommen ist, dreht man nun wieder 90 Grad. Insgesamt wiederholt man das viermal, bis das kleine Quadrat an der nächsten Ecke des großen Quadrates in der gleichen Position ankommt. Das kleine Quadrat hat sich dann um 360 Grad gedreht. Nach vier solchen Drehfolgen kommt das kleine Quadrat an der Anfangsecke des großen Quadrates an und hat sich viermal um sich selbst gedreht.

Nun das gleiche mit regelmäßigen 5-Ecken, also wieder insgesamt 4 Drehungen von Ecke zu Ecke, jedoch jeweils mit 72 Grad (Außenwinkel des regelmäßigen 5-Ecks). Das muss man fünfmal wiederholen. Insgesamt also 4*72*5=1440 Grad, das sind wieder 4 Umdrehungen.

Für das regelmäßige n-Eck sind das von Ecke zu Ecke stets vier Drehungen mit 360/n Grad, bei n Seiten sind das dann n*4*360/n=1440 Grad, also wieder 1440 Grad. Also hat sich das kleine n-Eck viermal um sich selbst gedreht, wenn es an der gleichen Stelle ankommt, von der aus es gestartet ist. Die Anzahl der Drehungen des kleinen n-Ecks ist also für jedes n dieselbe.

Und weil mit wachsendem n schließlich aus den n-Ecken Kreise werden, muss sich auch der kleine Kreis viermal um sich selbst gedreht haben, wenn er an der Ausgangsposition angekommen ist.


Kontrollfrage: Wieviele Umdrehungen würde der kleine Kreis machen, wenn er nicht außerhalb, sondern innerhalb des großen Kreises liegen würde? 😉

[rdphysik]

Was passiert wenn man den großen Kreis über den kleinen laufen lässt und somit den Mittelpunkt des großen Kreises um den kleinen bewegt, wäre dann die Antwort zwei?

[klauswiederhoft]

Wir haben es im Studium so erklärt bekommen, dass man erst den großen mit dem kleinen Kreis einmal gemeinsam herumdreht und anschließend den großen Kreis wieder zurückdreht, wobei der kleine genau drei zusätzliche Umdrehungen ausführt, weil sein Umfang genau dreimal abgerollt wird.

[Thomas_Doe]

Es kommt auf den Mittelpunkt an.
Auf gerader Strecke legt der Mittelpunkt die gleiche Strecke wie der Umfang des großen Kreis zurück. Wie im Video gezeigt. Deswegen 3-mal.
Aber wenn er um den Kreis läuft ist seine Strecke größer.
Man kann nur die Radien vergleichen den davon ist der Umfang abhänig.
2*Pi kann man mal weg lassen zum Vergleich.
Bei diesem Beispiel legt der Mittelpunkt eine Strecke von 4 zurück, da er sein Radius 4 (3+1) ist.
Da geht sein Umfang 4 mal rein.
Also gerade 3-mal und rotiert 4-mal.

Selbst bei "ungeradem" Verhältnis vom Radius ist es eine Umdrehung zusätzlich.
groß: 13 - klein: 5
Auf gerader Strecke: 2+(3/5) Umdrehungen "13/5"
Über Kreis gedreht legt Mittelpunkte eine Strecke von 18 zurück: 3+(3/5) Umdrehungen "18/5"

So leite ich mir das her nach 30 Jahren Schulanschluss^^

[Jonchen]

Ich hatte beim TikTok kurz überlegt und bin dann auf 4 gekommen, weil der gelbe Kreis ja 3 groß ist und der kleine 1. Aber der gelbe Kreis dreht sich ja nicht IM gelben Kreis, sondern außerhalb. Deshalb sind 3(gelb)+1(grün)=4
Also 4 Umdrehungen. Nur haben mich dann die Antwortmöglichkeiten verwirrt und hab dann gedacht ich hätte falsch gerechnet. Baer anscheinend war's ja doch richtig

[wolfsimon]

Da die korrekte Antwort gar nicht gegeben war, gehe ich davon aus, dass die Aufgabenstellung die zusätzliche Umdrehung selbst nicht berücksichtigt hatte und die richtige Antwort erst später klar wurde