№ 95. Задание 13. ЕГЭ. Математика. Иррациональное уравнение.

Давайте решим вот такое уравнение. * Для начала поставим условие, чтобы под внутренним корнем не было отрицательного числа. * Это означает, что икс должен быть больше или равен четырём. Затем посмотрим, чтобы под первым внешним корнем не было отрицательного числа. * Но мы уже записали, что икс больше либо равен четырём. Поэтому и выражение под корнем будет больше или равно нулю. Мало того, оно будет больше или равно четырём. Дополнительных ограничений на икс не требуется. Теперь рассмотрим выражение под вторым внешним корнем. * Оно должно быть больше или равно нулю. Запишем неравенство. Уединим корень в правой части. Возведём обе части в квадрат. Раскроем скобки в правой части. Перенесём всё в левую часть. Свернём левую часть как квадрат разности. * Квадрат никогда не бывает отрицательным. Значит, это условие выполняется при любом икс и дополнительных ограничений опять таки не требуется. Получившееся ограничение - а это пока единственное ограничение - я запишу рядом с исходным уравнением, чтобы не забыть. * Вот таким образом. Теперь надо немного облегчить себе жизнь. Ясно, быстро такое уравнение не решить. Его придётся преобразовывать, и неоднократно. А в уравнении присутствует повторяющееся выражение, и довольно громоздкое. * Четыре корня из икс минус четыре. Чтобы много раз не переписывать это выражение, я обозначу его буквой А. * Перепишу уравнение с помощью А. * Возведу левую и правую части в квадрат. Это преобразование будет равносильным, потом что и левая и правая части положительны. * Раскрою левую часть как квадрат суммы. Справа напишу шестнадцать. * Квадраты упрощу, корни объединю. * Приведу подобные. * Перепишу на новую страницу. * Разделю на два. * Уединю корень в левой части. И вот тут очень важный момент. Перед тем, как возвести левую и правую части в квадрат, надо убедиться, что они обе не отрицательны. Ведь корень отрицательным не бывает! * Решаем неравенство и получаем новое ограничение. * Икс меньше или равен восьми! С учётом этого поменяем условие, записанное рядом с исходным уравнением. * Теперь вернёмся к уравнению. * Возведём левую и правую части в квадрат. * Квадрат корня равен подкоренному выражению. Правую часть раскроем как квадрат разности. * Левую часть свернём как разность квадратов. * Сократим икс квадрат. * Теперь пришло время подставить выражение для А. * Перепишем уравнение на новую страницу. * Возведём в квадрат. * Раскроем скобки. * Для полной ясности поменяем в левой части порядок слагаемых. * Результат довольно неожиданный. Получилось тождество! Равенство выполняется для любого икс. * Единственное, что нас ограничивает, это ограничение, заботливо записанное рядом с исходным уравнением. * С учётом этого пишем ответ.