On vous MENT depuis le DÉBUT - Théorie des ensembles [2/2]

On vous raconte tellement de mensonges depuis le début de votre scolarité...
"N est inclus dans Z", c'est faux !
"L'addition, ça ne se démontre pas", c'est faux !
"Les polynômes sont des fonctions de R dans R", c'est faux !

Je vais t'expliquer pourquoi un nombre réel est un couple d'ensembles
disjoints dont les éléments sont des classes
d'équivalence de couples dont les éléments
sont aussi des classes d'équivalence de
couples dont les éléments sont des ensembles
construits à partir d'ensembles vides.

Mais surtout, je vais t'expliquer comment on construit les nombres (jusqu'aux nombres complexes) en théorie des ensembles (théorie ZF ou ZFC).

Le PDF que je présente dans la vidéo :

La musique de fond de cette vidéo (composée par mes soins) est disponible sur ma chaîne musicale :

Remarques :
- L'ensemble des nombres décimaux (D) n'est pas construit ici car il ne s'agit que d'une partie très spécifique de l'ensemble des nombres rationnels, où le dénominateur rendu positif est une classe d'équivalence d'une puissance de 10.
- Pas besoin de construire R avec des classes d'équivalence de Dedekind (contrairement à ce que je dis), on peut simplement ajouter une condition supplémentaire pour ne pas générer deux fois chaque nombre réel rationnel.

-•--•---• Sommaire •---•--•-

00:00 | Introduction
02:14 | Partie 1 - Les nombres entiers naturels (N)
15:18 | Partie 2 - Les nombres entiers relatifs (Z)
23:24 | Partie 3 - Les nombres rationnels (Q)
28:09 | Partie 4 - Les nombres réels (R)
34:48 | Partie 5 - Les nombres complexes (C)

-•--•---• Médématiques sur Internet •---•--•-

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[medematiques]

Le PDF que je présente dans la vidéo :

La musique de fond de cette vidéo (composée par mes soins) est disponible sur ma chaîne musicale :

REMARQUES :

- L'ensemble des nombres décimaux (D) n'est pas construit ici car il ne s'agit que d'une partie très spécifique de l'ensemble des nombres rationnels, où le dénominateur rendu positif est une classe d'équivalence d'une puissance de 10.

- Pas besoin de construire R avec des classes d'équivalence de Dedekind (contrairement à ce que je dis), on peut simplement ajouter une condition supplémentaire pour ne pas générer deux fois chaque nombre réel rationnel.

- On n'utilise pas les axiomes de Fraenkel mais seulement ceux de Zermelo.

[GillesLeBourhis]

Affirmation discutable, mais si l'on se contente de ZF stricto sensu, le nez des les axiomes, cette affirmation peut être comprise . Dans la théorie des ensembles, toutes le variables sont des ensembles, y compris les éléments... Ce qui n'est pas vraiment le cas dans les "mathématiques de tous les jours". Tout dépend du *modèle* que l'on utilise. Les constructions des nombres dans ZF(C) ont pour but d'établir que ZF(C) fonde l'arithmétique (de Peano) et l'analyse d'Hilbert. Cela permet d'obtenir un modèle de ces dernières. On démontre qu'à partir de ZF(C), on peut reformuler l'arithmétique de Peano et donc, en reprenant le schéma de cette arithmétique, dont IN est par définition un modèle standard (dans un univers de Grothendieck raisonnable), Z est le modèle des entiers relatifs obtenus par extension (anneau universel engendré par le semi-anneau IN). On n'est pas obligé de s'accrocher à cette construction ensembliste de l'arithmétique et de l'analyse dans ZF(C), car dans ce cadre, on préfère la plupart du temps travailler dans un modèle standard, donné à isomorphisme près, auquel cas, dans ce modèle, l'inclusion peut camoufler un morphisme structurel canonique mais n'est pas un abus de langage car c'est encadré par le modèle utilisé. La construction des complexes par rapport à IR peut se faire par plein de pleins de modèles distincts, on identifie alors IR à un sous-ensemble de ce modèle et cette identification, donnée par un isomorphisme de corps est une inclusion, bien qu'a contrario, il existe dans C une infinité non dénombrable de sous-corps (si l'on accepte l'axiome du choix), tous isomorphes à IR, faisant de C une extension de degré 2 sur chacun de ces derniers. Ce n'est pas pour rien que l'on a crée une théorie des corps réels.
La théorie des ensembles nous dit simplement qu'elle est en capacité, si elle est consistante, de fonder l'arithmétique et l'analyse.
Enfin, pour tout cardinal infini c, il existe un modèle de l'arithmétique de cardinal c, même si c n'est pas dénombrable (on dira alors "méta-non-dénombrable" car cette non-dénombrabilité est externe au modèle)... Mais dans ce modèle, il y a dénombrabilité, par définition.
Il n'existe pas de système axiomatique pour décrire de manière univoque et sans ambiguïté l'arithmétique de IN (premier théorème d'incomplétude de Gödel). Peano ne permet pas de différencier les entiers standards des non-standards, ce que ZF(C) arrive "mieux". Cela ne sera jamais satisfaisant, sauf à se restreindre à un univers raisonnable.
Pire, si l'arithmétique de Peano est consistante, elle est oméga-inconsistante : malgré la pauvreté de cette arithmétique, il existe un modèle non-standard de l'arithmétique et un entier non-standard dans ce modèle qui permet de coder la démonstration que 0=1 dans l'arithmétique de Peano). Autrement dit, il existe une démonstration "infiniment longue" d'un point de vue standard, (donc inacceptable dans IN), dans l’arithmétique de Peano que 0=1... La consistance de l'arithmétique, si on en accepte le principe, fait que 0=1 est impossible dans un modèle standard IN.
Cette omega-inconstance fut pour Gödel le résultat "le plus monstrueux", selon lui qu'il découvrit.
Autre résultat étrange : s'il existe dans l'arithmétique une démonstration que la conjecture de Goldbach est indécidable, alors elle est vraie (la valeur de vérité n'est pas un résultat interne de l'arithmétique mais de la logique encadrant l'arithmétique). C'est une propriété étrange que possède le cadre logique de l'arithmétique.
C'est à travers ces différents aspects que l'on voit toute la limite des systèmes axiomatiques, qui sont les moins pires pour construire des mathématiques. On a tous philosophiquement une idée pré-établie de ce qu'est un entier naturel, mais les mathématiques échouent et échoueront toujours (Gödel l'a prouvé), à en donner une définition dépourvue d'ambiguïté. Même s'il on arrivait à étendre nos règles de raisonnement, intégrant des preuves non finies, ou autre, ces extensions conduiront probablement à des crises et des paradoxes, comme le présage l'oméga-inconsistance. Pour comprendre dans la vie d'un mathématicien, qui est finie par principe, ce que pourrait être une démonstration classiquement infinie, si l'on peut coder les démonstrations de l'arithmétique sur une machine de Turing et par principe, construire des algorithmes de vérification des démonstrations, on pourrait rêver de penser à des machines de Turing "quantiques" et donc à des démonstrations "quantiques"... fantasme qui s'effondre par la simple idée de l’oméga incomplétude. On n'est pas sorti de l'auberge !

[mariaquenelle]

Franchement une vraie CLAQUE cette vidéo ❤❤❤ j'avais déjà entendu vite fait parler de tout ça mais le découvrir de façon aussi concrète je trouve ça DINGUE, bravo pour cette vidéo !!!

[corbonmaths]

Bravo ! Très beau travail, merci à vous.

[pinkunicorn]

Woaw une vraie claque cette vidéo j'avoue ! 😱👏👏👏

[nonoroberto]

Merci infiniment pour cet effort de vulgarisation passionnant !

[yobg]

45 minutes de plaisir!! bonne vidéo à tous!! 🤩

[mmb]

Vidéo très intéressante! C'est pas courant de voir la construction des ensembles R et C sous ces angles

[clmasse]

Dire que les entiers naturels ne sont pas des relatifs, c'est un peu comme dire que les classes d'équivalence de bipoints équipolents ne sont pas des vecteurs, puisque les vecteurs sont des ntuples de réels, la construction est différente. Les entiers ne sont pas définis par leur construction, mais par leur structure, càd les propriétés satisfaites par leurs lois de composition. N est un monoïde pour l'addition, Z est un groupe qui est l'extension de N par ajout des opposés. La constructibilité, où l'existence comme il est dit, est un concept philosophique, pas mathématique. La construction sert seulement à démontrer que l'arithmétique est logiquement compatible avec la théorie des ensembles, ou que les nombres existent dans la théorie des ensembles.

[vinceguemat]

J'ai un livre de maths qui défini l'ensemble des entier naturel N comme l'ensemble non vide munie d'une relation d'ordre qui respecte les 3 critères suivants : 1) toute partie de N admet un minimum 2) toute partie non vide et majorée admet un maximum 3) N n'est pas majoré dans N
Avec ca on peut recrée toute l'arithmétique de N

[elliottvarnier]

Les abus des notations c'est quelque chose de positif en mathématiques.
Bien que certains professeurs en classe prépa traumatisent des élèves qui découvrent les maths avec ca, identifier les objets c'est crucial pour créer de l'intuition et unifier des concepts.
J'ai l'impression d'entendre un pianiste métronomique, c'est juste mais c'est pas la justesse qui est intéressant, c'est la créativité. Les gens qui ont crée les théories que tu explique étaient des artistes effrayés de voir leur magnifique œuvre s'effondrer. Sur ta chaine j'ai l'impression qu'on parle de tout sauf de cette œuvre, i.e de tout sauf de mathématiques.

[perpetgholl]

ca a l'air tellement compliqué, bravo a vous,
il faut etre vachement intelligent pour comprendre tout ca.
bravo a vous, je voudrais trop etre aussi intelligent que vous.

[gwpiaser]

comme prochain titre second degré je propose "Voici les neuf axiomes de la théorie ZFC, le 6ème va vous étonner".

[gwpiaser]

DEuxième vidéos de la chaine que je regarde, deuxième très bonne vidéo. J'ai une question de béotien, j'ai cru comprendre que l'on avait besoin de la logique du second ordre pour construire l'arthmiétique de Peano, dans la vidéo où est qu'elle est ncéessaire dans la construction ?

[jean-patrickdusimonciel]

trop bien j'ai jamais vue un truc aussi rigoureux que ça

[mythix]

Je pensais c’était Axel Arno avec la mania 😅

[titouanleclercq]

"N inclus dans Z inclus dans Q inclus dans R c'est faux"
-> C'est une mauvaise remarque, tu peux tout à faire créer des constructions permettant de rendre ça vrai. Si tu choisis une construction de tes ensembles de nombres qui rend ça faux, c'est tant mieux pour toi mais ça ne suffit pas à invalider l'assertion initiale.
Quand on décide de parler de N, Z, Q et R, ou de tout objet du genre, on parle en réalité toujours de classe d'isomorphisme, et on ne s'intéresse jamais à ce qu'il y a réellement dans le sac N ou dans le sac Z, puisque c'est les propriétés opératoires de ces objets qui comptent. Si tu veux construire Z comme {2^n} U {3^n} et décréter que Z est inclus dans N, ça ne changera pas que ce dont on parle est largement différent.
Si on décide de faire preuve du minimum de charité intellectuelle nécessaire pour faire des maths, on comprend qu'il y a deux processus mathématiques distincts en jeu :
- la construction ascendante, qu'on peut considérer comme un réductionnisme permettant de ne garder que les axiomes de ZFC pour étudier n'importe quelle structure de nombres
- la construction descendante, de considérer que la structure de N (resp Z, Q) est une sous-structure de R, permettant de se plonger à tout moment dans un ensemble de nombres plus grands.
C'est exactement le même phénomène qu'on peut voir quand on construit un corps de rupture dans Q : on sait déjà que Q[sqrt2] existe si on en prend une partie de R, mais la construction générale nous permet de montrer que cette structure est indépendante du plus grand corps, càd qu'on peut lui donner une valeur intrinsèque. Dans le cas des nombres, on montre juste que N n'a pas besoin du surensemble R pour exister, mais ça n'empêche que prendre N comme la partie de R isomorphe à l'ordinal omega est parfaitement valide.
Et si vraiment tu veux jouer au pédant extrême, tu peux toujours décider que, par exemple, Z = (N²/~ \ { cl(n, 0) | n € N }) U N et définir tes opérations à partir de là, puis pareil pour Q et R où chaque fois tu remplaces la partie isomorphe à l'ensemble de départ par l'ensemble de départ lui-même.

[eknight]

Bonsoir,
au 3.2.4, pourquoi N doit-il appartenir à M et pas lui être inclus ?

[goblin]

23:38 est-ce qu’il n’y aurait pas une coquille au niveau de 6.1.1, au troisième tiret? L’union devrait se faire sur les A dans R pour reconstituer E

[foxypiratecove]

Y'aurait moyen d'avoir le code source LaTeX juste pour apprendre à faire des documents LaTeX aussi cali que ça ?