Derivata di una funzione .Significato , definizione e calcolo tramite rapporto incrementale. Esempi

Derivata di una funzione ad una variabile e calcolo della derivata tramite il rapporto incrementale .
Uno dei concetti più importanti dell'analisi matematica è quello di derivata prima , che ha un larghissimo uso in molti contesti scientifici (fisica , meccanica analitica, ecc ecc ) .

Prima di introdurre la sterile definizione di derivata prima di una funzione , ho preferito fare un piccolo esempio attinente la vita reale , per far capire i contesti in cui si parla di derivata e successivamente sono rientrato nel contesto matematico utilizzando le definizioni formali e facendo capire tutti i simboli e relativa nomenclatura (rapporto incrementale , incremento della variabile indipendente , ecc ecc ) .

Tramite la definizione ho calcolato la derivata prima di alcune funzioni note , solitamente tabulate in sterili tabelle .Tutto ciò per far capire che tutte le derivate delle funzioni basilari che solitamente sono elencate nelle tabelle si possono ricavare facilmente utilizzando la definizione .

A livello pratico-didattico le derivate si utilizzano per stabilire la monotonia delle funzioni , per stabilire l'equazione di una retta tangente al grafico in un punto , risolvere problemi di massimo o minimo ecc ecc .

#salvoromeo #analisimatematica #derivataprima

[zarath]

Caro Salvo mi unisco ai commenti precedenti per ringraziarti per questa bella lezione. Partire da un esempio concreto di un fenomeno come la variazione della temperatura in funzione del tempo è anche secondo me il modo migliore per introdurre uno dei più bei concetti dell'analisi da Newton ad oggi.

[aradmobargha]

professore ma se h tende a zero ma noi non lo prendiamo mai pari a zero (ma sono "talmente vicini che si confondono"), come mai la tangente ha solo un unico punto in comune con la funzione? Grazie

Complimenti professore ! bravissimo e chiaro nelle spiegazioni . Ha fatto capire in pochi minuti il concetto di derivata a volte spiegato da altri suoi colleghi in maniera superficiale e mnemonica.

[alessandrodigennaro]

Una spiegazione chiarissima. Davvero. Non è per nulla scontata una chiarezza simile. Complimenti. Grazie.

[PaulAcco-rzvw]

Ciao Salvo, complimenti per la chiarezza! Vorrei farti una domanda: nel caso della funzione x al quadrato, perché nella derivata considero solo 2x e non 2x+h con h infinitesimo? Ovvero, nel caso di questa funzione, quando misuro il rapporto incrementale tra due punti molto vicini della funzione ottengo 2x+h, con h molto piccolo ma non zero. Grazie se vorrai rispondermi

[bredguy]

Davvero video impeccabile, eccezionale professore! Ho capito alla perfezione, grazie ❤

[patrizioangeloni]

salve sono uno studente universitario, trovo le sue spiegazioni molto utili e chiare, caricherà per caso una lezione sul principio di induzione? grazie

[vandonrrathtori]

buongiorno professore, intanto parto ringraziandola per queste lezioni, ma volevo chiederle una curiosità nata con i compagni, ovvero se lei scrivesse al contrario oppure scrivesse normalmente e poi in un secondo momento specchiasse ciò che ha scritto

[MauroC]

grazie, ho l'esame di analisi tra 10 giorni e sei nuovamente il mio salvagente come quando ho passato l'esame di matematica discreta qualche mese fa

[robertoballotto]

Grande Professore, grazie moltissimo per la video lezione. Da autodidatta, un grandissimo aiuto. Oltretutto trasmette una grande empatia. Fortunati i suoi studenti.

[nattalco]

È stato davvero chiarissimo, grazie mille!

[giuseppecrea]

Complimenti per come spiega, e per tutti i passaggi che ha fatto

[giuseppecrea]

Complimenti per come spiega, e per tutti i passaggi che ha fatto

[dinochiari]

Per quanto riguarda la trigonometria la funzione non si annulla mai facendo le derivate. Se prendo f(x) sen x derivando senza fermarmi ottengo
f'(x) cos x
f''(x) -sen x
f'''(x) -cos x
f''''(x) sen x
Con la derivata quarta di sen x siamo tornati in poche parole alla primitiva quindi abbiamo un ciclo infinito di 4.
La derivata di x^7 e 7x^6. Però se continuo a derivare prima di arrivare allo 0 come costante ottengo 5040 conosciuto anche come 7!. La derivata di ln x si può esprimere anche come x^-1.

[dinochiari]

Un altra cosa: per quanto riguarda tg x la derivata e 1/(cos^2 x). Per caso se la funzione fosse cotg x sarebbe 1/(sen^2 x)? Per cotg x voglio dire 1/tg x.

[pegasusfelix]

Buon pomeriggio, professore.

Tramite il rapporto incrementale come posso risolvere questa funzione per avere la derivata:

f(x)= 3/X^4 il libro mi dà come risultato f'(x)= -12/X^5

[norinocostruzioni]

buonasera professore al minuto 28:51 lei scrive che il limite di h che tende a zero di h su h fa 1, perchè non la forma indeterminata zero su zero?

[salvostabile]

Salve sono uno studente universitario, la ringrazio per le sue lezioni così chiare, volevo chiederle se fosse possibile una lezione relativa alle TRASFORMAZIONI LINEARI, ISOMETRIE, TRASLAZIONI, Ecc.. che mi sono poco chiare ! Grazie

[benitocappello]

grazie professore spiegazione chiarissima magari tutti i suoi colleghi facessero altrettanto

[sherlayday]

Salve, avrei un dubbio da chiederle: se due funzioni hanno lo stesso valore e la stessa derivata in un punto, possiamo dire che si assomigliano in quel punto e che hanno comportamenti simili nelle immediate vicinanze di quel punto?
Nel caso di y=x^3 e y=x^2 hanno la stessa derivata prima