ON VEUT QUE DU 2 ET DU 3 !

Nouvelle question à traiter rapidement.
Combien existe-t-il de nombres entre 100 et 200 dont les seuls facteurs premiers sont 2 et 3 ?

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[michelbernard]

Prouver que pour n entier strictement supérieur à 1 il y a un nombre premier p compris entre n et 2*n (soit : il existe au moins un nombre p premier tel que n<p<2*n)

[og]

J’adore cette chaîne. Ça me rappelle parfois mon passé de lycéen filière scientifique, et me remet en tête ce que j’avais oublié.

[roddiehouston]

Beau contenu, la connaissance de base des mathématiques peut donner un avantage à un commerçant, avec l'importance que devenir un commerçant réussi nécessite une formation en mathématiques, en ingénierie ou en sciences dures, plutôt qu'en finance ou en affaires.

[y.kennard]

Les calculs mes semblent plus faciles à faire en partant des puissances de 3 plutôt que de 2.
D'ailleurs, comme on voudra du coup un facteur en 2^n pour "compléter", on peut même déduire que toutes les puissances de 3 inférieures à 100 fonctionneront :

Je pars d'une puissance de 3 inférieure à 100, je la multiplie par 2 récursivement jusqu'à obtenir un nombre supérieur à 100. Comme à l'itération précédente, on avait x < 100 ; on a à l'itération actuelle 2x < 200, donc un nombre dans la plage voulue. Et à l'itération suivante, on va forcément sortir de la plage vu que 2x > 100 => 4x > 200.
Donc pour chaque puissance de 3 < 100, il existe un et un seul nombre correspondant.
Et comme il y a 5 puissances de 3 < 100, bingo.

Cela permet de généraliser à des cas où on aurait moins envie de faire tous les calculs.
(Par exemple, si on recherche de tels nombres cette fois-ci entre 20'000 et 40'000, et bien il y en aura 10, vu que 3^9 = 19'683)

[el_lobs_is_back]

Possible de résoudre sans aucun calcul ! 😃

Raisonnement similaire mais en partant des puissances de 3 plutôt que 2.
On peut deviner que pour 1, 3, 9, 27 et 81 il y aura exactement une et une seule solution.

Pourquoi ? Parce que 200 est le double de 100. Je m'explique : 🤨

Si l'on part de 27 par exemple, et que l'on cherche une solution, on va multiplier par 2 encore et encore, jusqu'à tomber dans la bonne tranche (de 100 à 200) et on est sûrs d'y arriver, car on ne peut pas passer de 99 ou moins à 201 ou plus 😉

De plus, on ne trouvera pas deux solutions successives, car le double d'un nombre compris entre 100 et 200 est plus grand que 200, (excepté pour 200 que l'on peut éliminer car multiple de 5).

Voilà Voila j'espère avoir été clair 😅

[beixoultes]

Pour ma part, je ne me suis pas du tout occupé des puissances de 2.

Si m est dans N et 0 < n < 200, la fonction f(m)= n * 2^m aura forcément une et une seule valeur entre 100 et 200, quel que soit n (car 200 = 2*100).
L'enjeu est donc de trouver toutes les valeurs de n tel que 0 < n < 200, sachant que n est de la forme 3^k (avec k dans N)

Pour le dire plus clairement, l'enjeu est de trouver le nombre de puissances de 3 inférieures à 200. Je ne sais pas par quelle puissance de 2 il faudra les multiplier, mais il y en aura forcément une et une seule qui fonctionnera pour tomber entre 100 et 200.
3^4=81 et 3^5=243, donc 5 possibilités (en incluant 3^0).

PS: je ne sais pas si c'est entre 100 et 200 inclus ou exclus (dans mon explication j'ai pris "exclus"). Mais 100 et 200 étant multiples de 5, il ne sont pas de la forme 3^k et donc ça ne change pas la réponse.

[moshamomomd]

Oui, il y a ambiguité dans l'énoncé. Pour accepter 128, il aurait fallu avoir dans l'énoncé "les seuls facteurs premiers sont 2 ou/et 3"

[Zaxx]

On part des puissances de 2 jusqu'à déborder (256) puis on réduit de 2 en 2 en multipliant par 3 jusqu'à obtenir un nombre > 100 et on incrémente le compte si le nombre n'est pas > 200. Facile. Par contre la réponse à l'énoncé est 4 et n'est pas dans la liste... c'est ballot! il faut lire: "dont les seuls facteurs premiers sont 2 OU 3" pour obtenir la réponse 5. Comme commenté par ailleurs, 128 n'est pas valable si on considère 2 ET 3 car 128 est également factorisable par tout nombre premier à la puissance zéro.

[mustaphaelmarkahi]

En Statistiques : ET, OU, ET/OU sont différents...
L'expression " 2 'ET' 3 " ( 2 et 3 simultanément) est différente de " 2 ET/OU 3 ( 2 et 3 et (2 et 3 simultanés ).

[olivierpericat]

Merci encore pour cette superbe video ! J'avoue que je ne suis pas très à l'aise avec le fait de dire que 3^0 est un facteur premier. Pour moi ce n'est pas intuitif, on pourrait dire que n'importe quel nombre puissance zéro est un facteur premier puisque c'est 1...

[jodrediangienda]

Toujours dans le top des chaînes YouTube. Ca bouge pas.

[jeanphilippetrotier]

Si on accepte 3^0 alors on peut dire que 128 = 2^7 * 3^0 * 5^0 * 7^0... donc pas juste en facteur de 2 ou 3 donc on ne peut pas le prendre
Et même si on accepte la puissance zéro, il n'y a aucune solutions car toutes les solutions peuvent être multipliées par 5^0 (par exemple)

[romainrevel]

Il faut faire un tableau, dont l'entête des colonnes est l'exposant M du 3, de 0 à 5, l'entête des lignes l'exposant N du 2, de 0 à 8, et chaque cellule le produit 2^N * 3^M.
Et on compte les résultats...

[yvessioui]

Deux points. (1) Il y a un certain illogisme quand on dit que ‘c’est comme si on disait 3 puissance 0 car’, par l’absurde, le même procédé étendu à 5 élimine toutes les possibilités. Il faudrait éviter cette illustration et proposer autre chose. (2) Perso, mon réflexe a été de bâtir une grille avec les valeurs des puissances de 2 sur un axe et les valeurs des puissances de 3 sur l’autre. Dernière étape, écrire les nombres inclus dans nos limites puis les compter. Un esprit très rigoureux et minutieux pourrait inscrire qu’un symbole simple au lieu des réponses pour sauver du temps. Cependant, ce n’est pas optimal pour contre-vérifier. Cette méthode en grille facilite le suivi des opérations, des possibilités.

[Hobbit_libertaire]

J'ai fait un tableau à double entrée croisant n et m (oui j'avais pris les mêmes lettres que toi avant de regarder la vidéo, c'est matrixant les maths c'est fou), et j'ai coché toutes les cases qui fonctionnaient... pour en trouver 4, j'avais oublié d'inclure les puissances 0 (oui oublié, quand je m'en suis rendu compte je me suis pas dit contrairement aux nombreux autres qu'elles ne devaient pas être inclues, ouais en étant pointilleux on devrait les refuser parce que l'énoncé aurait dû dire "2 ou 3", mais je suis pas un chipoteur (enfin si, tout le temps, mais pas sur ce coup-là étrangement)

[valoulef]

J'ai fait pareil mais en écrivant
2*2*2*2*2*2*2 = 128
2*2*2*2*2*2*3 = 192
2*2*2*2*3*3 = 144
etc...

Je trouve que c'est un peu plus facile de ne pas s'embrouiller parce que c'est plus visuel, on voit directement tous les éléments impliqués. À chaque fois on remplace le dernier 2 par un 3 et si on dépasse 200 on enlève un chiffre, du coup difficile d'oublier une possibilité.

[leop]

J'ai répondu 5 parce que 4 n'était pas dans les propositions. Mais si on considère que la conjonction "et" impose les 2 facteurs premiers à la fois (2 ET 3), la bonne réponse est 4 et les nombres en question sont 108, 144, 162 et 192. Il y en aurait cinq si l'énoncé disait "2 et/ou 3". La conjonction "et" sous-entend que le facteur 2 et le facteur 3 sont au moins présents une fois chacun dans la décomposition (je vois le "et" un peu comme l'outil intersection en probabilité, lorsque l'on écrit A∩B). Dire que 128 comprend le facteur 3 à la puissance 0 me paraît incorrect. Pour qu'un facteur premier intervienne dans la composition d'un nombre, il doit exister "en lui" avec une puissance positive entière non nulle. Pour reprendre la notation de Iman, m et n ne peuvent pas valoir 0. À ce moment-là, si on suit la logique proposée, cela voudrait dire que 7 et 13 sont aussi des facteurs premiers de 128 et de toutes les réponses trouvées si on les élève à la puissance 0, ce qui paraît absurde (au sens mathématique du terme). 3 n'est pas un facteur premier de 128, j'aurais donc exclu cette réponse.

[angusblr]

!! Dans l’énoncé c’est ET et non OU, j’ai ps oublié mes cours avec les intervalles et les unions🤣🤣 mais bon j’avais pas vue le coup de la puissance 0

[michelbernard]

Démonstration OK, mais c'est plus rapide en prenant la base de 3 :car il n'y a que 5 puissances de 3 qui sont inférieures à 200 (0, 1, 2, 3, 4) donc moins de cas à tester, et pour chacun de ces cas on trouve une puissance de 2 qui va bien (7, 6, 4, 2, 1)

[oaoisback]

Assez d'accord avec beaucoup de commentaires, 2^7x3^0 ne va pas, sinon on peut aussi dire que ce nombre ne marche pas car 2^7x3^0x5^0, qui est le même nombre, possède 5 comme facteur premier.
Et pour la démo, ça va plus vite en considérant directement les puissances de 3. Parce qu'en fait, quel que soit n le nombre entier positif inférieur à 100, il existe une puissance de 2 telle que n x 2^m soit entre 100 et 200 (vu que 100 x 2 = 200, on passe forcément entre les deux à un moment :)
Donc il suffit de regarder les puissances de 3 inférieures à 100 pour la réponse, je pense :)