CÁLCULO VETORIAL - Equações e Gráficos das Superfícies Quádricas

Olá pessoal

Nesse vídeo iremos abordar conteúdo da disciplina Cálculo Vetorial, equações e gráficos de superfícies quádricas.

Conheceremos as definições:
Uma quádrica é uma superfície cuja equação cartesiana é uma equação de segundo grau nas variáveis x, y e z. São as correspondentes tridimensionais das cônicas no plano.

Equações e gráficos das seguintes quádricas:

1- ELIPSÓIDE:
2- HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA:
3- HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS:
4- CONE ELÍPTICO:
5- CILINDRO ELÍPTICO:
6- CILINDRO HIPERBÓLICO:
7- PARABOLÓIDE ELÍPTICO:
8- PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO:
9- CILINDRO PARABÓLICO:

EXERCÍCIOS:

1
Considere a  quádrica: Q: 𝑥^2/4−𝑦^2/9−𝑧^2=1
Assinale verdadeiro ou Falso.

a) A Interseção desta quádrica com o plano α: y = k sendo k uma constante, é vazia. ( )
b) A Interseção desta quádrica com o plano π: z = 0 é uma hipérbole. ( )
c) O nome desta quádrica é Hiperbolóide de duas folhas. ( )
d) A Interseção desta quádrica com o plano β: x = 4 é uma hipérbole. ( )
e) A Interseção desta quádrica com o plano δ: x = 0 é vazia. ( )

2
Considerando a quádrica: Q: −𝑥^2/4+𝑦^2/9+𝑧^2=1
Preencha as linhas abaixo:

Observamos que a interseção desta quádrica com o plano π: y = 0 é _____________________.
Todas as interseções desta quádrica com os planos α: x = k onde k é uma constante _____ elipses.
Com base nisto, podemos afirmar que trata-se de um ______________________ ao longo do eixo dos ___.

3
Sobre a quádrica: Q: 〖(𝑧−2)〗^2/4+〖(𝑦+1)〗^2/4=(𝑥−1)
Assinale verdadeiro ou Falso.

a) seu vértice é o ponto P = (−1,1,−2). ( )
b) o eixo de revolução é o eixo dos x. ( )
c) é um parabolóide circular ou de revolução. ( )
d) seu vértice é o ponto P = (1,−1,2). ( )
e) o eixo de revolução é paralelo ao eixo dos x. ( )

4
Classifique, faça um esboço e determine os principais elementos (indicar simetrias e interseções com planos paralelos aos planos coordenados) da quádrica de equação abaixo:
x2 + z2 − 2x + 4z = y−6.

5
Determine a equação e esboce a superfície de revolução obtida ao girar a reta 4y − x − 2 = 0 em torno do eixo dos y.
Qual o nome desta quádrica?