Система уравнений из экзамена в МГУ

Математика Алгебра Рассказ про то, как девятиклассник решил систему уравнений из вступительного экзамена в МГУ

[РоманДобрынин-рр]

Во время просмотра у меня чуть не случилась депрессия...

[waldemarmoskalecki]

плюсую челу, придумавшему такую систему уравнений.
Это ж надо было додуматься до такого

[Сергей-юфт]

Как же хорошо, что у меня все это кончилось много лет назад и можно смотреть на это все с удовольствием )

[УчитесьДумать-ър]

Сначала складываем оба уравнения, находим: y=-x (1) и x^2-xy+y^2=6, потом вычитаем, находим: y=x (2), и x^2+xy+y^2=4. Затем вычитаем те два равенства, которые с квадратами, получаем: y=-1/x (3). Используем (1), (2) и (3), например, в первом уравнении, получаем ответы.

[maxneremenko]

Добрый день, Петр. Нашел задачку из журнала Юный Техник за 1957 год. Думаю будет интересно: "В семье трое детей: Юра, Толя и Маша. Разница в возрасте между отцом и матерью такая же, как разница в возрастах между Юрой и Толей, а также между Толей и Машей. Если перемножить возраст Юры и Толи, то получится возраст отца, а если перемножить возраст Толи и Маши, получится возраст матери. Всем членам семьи, вместе взятым, в сумме 90 лет. Сколько лет каждому из них?"

[Utars]

Построил в "Калькуляторе" графики функций, 9 точек пересечения

[swaisamkait]

смотрю на доску: 0:01
"моргнул"
так же смотрю на доску: 22:10

[roman_n]

Может я ошибся, но мне показалось, что при выявление у6 вы забыли 4, то есть (√7+√3) /2*((√7+√3)²/4-5) =(√7+√3) /2*((7+2√21+3) /4-5) = (√7+√3) /2*(10+2√21-20) /4=(√7+√3) /2*(5+√21-10) /2=(√7+√3) * (-5+√21) /4= (-5√7+7√3-5√3+3√7) /4=(-2√7+2√3)/4= -2(√7-√3) /4= -(√7-√3) /2= (-√7+√3) /2
И кажется в остальных тоже самое получается
Также это система симметрическая, то есть если (х;у) решение, то (-х;-у)...
то же являются решениями (корнями) системы

[Vladimir_Genadevich]

Люди кто заметил что в x3= - корень из 3 а должно было минус корень из 6

[mathcoach]

За видос конечно лайк, но Ваша геометрия божественна....не опускайтесь до школьной алгебры ИМХО

[ИванПоташов-ою]

При вычислении y6 была допущена неточность: забыли возвести знаменатель в квадрат. И вообще, x^2 была найдено ранее, чем x

[tufoed]

Сложный способ у Артемия, кмк.
Система симметрическая (не меняется при перестановке x и y), поэтому технически можно сразу делать симметрическую замену (u=xy, v=x+y), но если такую замену делать сходу, станет только хуже, поэтому первым шагом перейдем к равносильной системе, полученной сложением и вычитанием уравнений. В этой системе можно в каждом уравнении выделить общий член (x+y в одном и x-y в другом), стало быть каждое уравнение распадается на совокупность. Теперь нужно аккуратно перейти равносильным переходом от системы совокупностей к совокупности систем (знание матлогики позволяет сделать это автоматически, но немножко подумав, можно и без матлогики обойтись). 3 системы большого интереса не представляют -- в каждой из них есть уравнение x=y или x=-y (а в одной даже оба), поэтому они моментально решаются подстановкой (так получаются ответы (0, 0), (±2, ∓2), (±√6, ±√6) общим числом 5 штук. А вот последняя система снова симметрическая, поэтому в ней делаем долгожданную замену u=xy, v=x+y. Получаем v²-u=4, v²-3u=6, откуда u=-1, v²=3, и здесь уже будут вот эти вот 4 пары ((±√3±√7)/2, (±√3∓√7)/2). Это как раз способ, который вы в конце предложили.

[elenarogovets]

Ошибка в y6! Не возвели в квадрат знаменатель

[МалиновыйЗакат-гк]

Что-то при подстановке x^2 у дробей забыли знаменатель в квадрат возвести.
Это при x6, x7, x8 и x9

[foundation]

Можно также поделить первое уравнение на второе, сделать замену (x/y)=t и через пару строчек дойти до произведения разности квадратов на многочлен с t.

[hirokitokuyama]

ужасное решение
а про "единственного решившего среди поступавших" человек явно наврал

[vunshpunsh]

Звонок важный был пропущен! Спасибо за Решение!

[dmitrystarostin]

Красиво. А плюс/минус перепутать (или подумать, что перепутал) - как без этого. :)

[Milesius]

Нашёл ещё короче решение: вбил эту систему уравнений в Wolfra Alpha и получил 9 решений =))), а к ним ещё и красивую картинку, где наглядно видно, почему решений 9. Хотя для тех, кто знает, как выглядит график кубической функции, сразу может быть понятно, как будут выглядеть графики уравнений данной системы и сколько точек пересечения получится.
Задачка интересная, в целом не сложная, просто писанины много и важно не запутаться и не наделать опечаток.

[true]

Что он делает? 🤔 При возведении дроби в квадрат и числитель и знаменатель возводят в квадрат.
Во-первых, легко заметить, что если пара (𝒂, 𝒃) решение системы, то пары (𝒃, 𝒂), (–𝒂, –𝒃) и (–𝒃, –𝒂) – тоже решения системы.(пара (𝒂, 𝒃) порождает ещё три пары решений – это для проверки!);
во-вторых ответ:
👍(0, 0)₁
👍(±√6, ±√6)₂, ₃
👍(±2, ∓2)₄, ₅
👍((√3±√7)/2, (√3∓√7)/2)₆, ₇
👍((–√3±√7)/2, (–√3∓√7)/2)₈, ₉
или:
👍x₁ = 0, y₁ = 0;
👍x₂, ₃ = ±√6, y₂, ₃ = ±√6;
👍x₄, ₅ = ±2, y₄, ₅ = ∓2;
👍x₆, ₇ = (√3±√7)/2, y₆, ₇ = (√3∓√7)/2);
👍x₈, ₉ = (–√3∓√7)/2, y₈, ₉ = (–√3±√7)/2.
((x₆, y₆) порождает (x₇, ₈, ₉, y₇,₈,₉))