✓ Решите уравнение 3^x + 4^x = 5^x | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин

Как решить уравнение 3^x + 4^x = 5^x?

В этом учебном году я веду три курса:
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.

Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:

Как поддержать канал:

[mrcat]

О, это же физтех прошлого года). Не доказал монотонность нормально, из-за этого потерял обидные баллы, поэтому очень даже нужное видео)

[ИринаТата-дф]

1975 г. математика ( вступительный экзамен в Киевский универ). Задали как доп.вопрос. Посмотрев на препода - сказала что 2, но вероятнее всего это нужно доказать. Далее немного по вашей схеме. Поставили 4 ( наверно за наглость). Когда поступала конкурс 10, 5 чел.место ( учитывался средний балл аттестата).После первого письменного по математике, отсеялись - 4.5 чел.место. Спасибо, я помолодела. Трушин, я вас ....и т.д.
P.S. не хватило 0.25 балла на стационар, пошла на вечерний.

[aksiniapankratova]

Спасибо за ваши видео! В математике я 0, но все равно смотрю, как фильм фантастический, ничего не понятно, но очень интересно.

[kell]

Увидел уравнение и сразу египетский треугольник вспомнил))

[ОлжасКапизов-ъщ]

Спасибо Борис Викторович, ваши уроки давно помогли поступить в вуз

[rosalyrdw]

Топ видео! Сразу теорему Пифагора увидела, осталось доказать.

[maincraftdictionary]

Первая ассоциация - стройны Египетского треугольника. А значит по теореме Пифагора, тоесть показатели у нас двойки.

[sinforpizero]

Можно же было на 4^x поделить и тогда слева убывающая функция, а справа возрастающая

[МаксимАндреев-щб]

(3/4)^x+1=(5/4)^x. Левая часть убывает, а правая возрастает, значит есть не более 1 решения, x=2 — решение, т.е. это единственное решение

[fullfungo]

Моя попытка (до просмотра видео):

Поделим на 4^x (положительное)
(3/4)^x+1=(5/4)^x
1=(5/4)^x-(3/4)^x
Рассмотрим f(x)=(5/4)^x-(3/4)^x. Функция непрерывная и дифференцируемая.
f’(x) = ln(5/4)•(5/4)^x - ln(3/4)•(3/4)^x.
f’(•) тоже непрерывная.
Заметим, что f’(0)>0.
Попробуем найти нули производной.
= 0

ln(5/4)•(5/4)^x = ln(3/4)•(3/4)^x
ln(5/4)/ln(3/4) = (3/4)^x • (4/5)^x
(3/5)^x = ln(5/4)/ln(3/4)
Заметим, что (3/5)^x > 0, но ln(5/4)/ln(3/4)<0.
Значит f’(•) не имеет нулей.
А така как она непрерывна, то f’(•)>0

Вернёмся к f(•), её производная везде строго положительная, значит функция строго возрастает. А это значит у неё не больше одного пресечения с y=1.
То бишь у f(x)=1 не более одного решения.
Мы знаем, что x=2 — решение, и следовательно других решений нет.


Edit: Чё-то так себе решение оказалось. Ну что поделать🤷

[erdgeschoss-bfvc]

Осторожно! В комментариях люди не знают, что значит решить уравнение

[gorbunov]

Забавная экстраполяция этого правила - вместо 3, 4, 5 могут быть любые числа, лишь бы то что справа было больше тех что слева.
Еще более забавное следствие - степенных функций слева может быть не две, а произвольное конечное количество.

[ВикторКонтуров]

А можно как-нибудь ответ 2 формально получить, без угадывания?

[TheMorpheios]

Если вопрос звучит "докажите что других корней кроме 2 нет", то нормально. А вот чтобы найти эту двойку тут сложнее. Ссылаться на египетский треугольник некрасиво и неправильно. Точнее это было бы уместно на олимпиаде, но не на экзамене.

[uussuu]

Стоп. А где вопрос про бюллетени и голосование в комментариях? Незачёт поклоннице

[paukrus]

Зная теорему Ферма и имея интуицию, можно сказать что 2. Но вот как решить?

[alexanderalex]

Надо было взять производную. Проверить, что не равна нулю и доказать монотонность для строгости.
Остальное хорошо.

[Tomassification]

Лежу в гамаке на берегу Карибського моря в Мексике и смотрю Трушина

[lonsdale]

А если заменить на синус и косинус, получится осн.триг. тождество

[XyxpbI-MyxpbI]

а если в правой части не 5 а, например, 6 в степени х, как корень находится?