Incroyable ! La preuve que 𝜋 = 2 - Trouve l'erreur #10

Regarde cette vidéo étonnante dans laquelle nous prouvons que 𝜋 = 2 !
Erreur, piège, paradoxe ou alors... 𝜋 est vraiment égal à 2 ???

[zerfgssdfgeee]

Une droite ne représente jamais une infinité de courbes, merci les fractales, et non l'ERREUR

[antimatter]

la convergence de la courbe formée par les demis cercles à chaque itération n'est pas C1, il n'y a donc pas convergence uniforme sur le diamètre, le passage à la limite est donc faux.

[DartictheuniC]

Des demis cercles ne feront jamais une droite, c'est aussi simple que ça :)
Chacune des infimes "hauteurs" de cercles multipliées par le nombre infiniment grand qu'elles sont feront bien pi

[DavidPAVEN]

La longueur pour (2^n) cercles c'est (2^n)*pi/(2^n) = pi, pas de souci de passage à la limite ici.

L'erreur est l'extrapolation qu'à la limite on sera "collé au segment".

[martin.]

Petit coquin 😉
Je la sentais venir de loin celle là. J'ai bien aimé comme tu arrives à garder ton sérieux quand tu prétends qu'une infinité de demi cercle serait considéré comme un segment 😉

[adambahri]

l'erreur est sur le fait que l'on considère une limite et une infinité de demi cercles qui tendent a former une droite or on ne peut pas se restreindre à une droite. Je m'explique. On pose N= nombre de demi cercles. On aurait alors lim N ( N tend vers + infini ) = +infini mais en mathématiques l'infini est pas atteignable ( d'où le concept de limites ) donc cette droite n'est pas atteignable et ainsi pi n'est pas égal à la longueur de la droite

[MrDremboy]

La limite des longueurs n'est pas la longueur des limites

[sebastien]

Pour l'erreur, je dirais que ça vient du fait que la convergence uniforme d'une suite de fonctions dérivables (fn) vers une fonction f dérivable, n'implique pas la convergence uniforme de (fn') vers f'. Ici, lorsqu'on paramétrise le rayon par une fonction f, puis qu'on paramétrise chaque courbe formée de demis-cercles par une suite (fn) de fonctions, on a clairement convergence uniforme de (fn) vers f, puisqu'on a convergence graphique. Cependant on n'a pas convergence uniforme des dérivées. Donc on ne peut pas dire que " limite de l'intégrale des fn' = intégrale de la limite des fn' ". Pas de bol, c'est justement en calculant l'intégrale de la dérivée d'une paramétrisation qu'on détermine la longueur d'une courbe.

[frisettedor]

N x Pi/N = Pi peu importe la valeur de N, même infiniment grand.

[damhx]

Dans la plupart des commentaires que j'ai lu, on trouve des bouts de réponse assez évasifs (et parfois même faux). Je vais donc apporter ma contribution et essayer de donner une réponse claire et précise à ce problème, niveau prépa (spé ?).


Notons :
fn : la fonction dont la courbe représentative est les 2^n demi-cercles à l'étape n sur [-1 ; 1]
f : la fonction nulle sur [-1 ; 1]
long : la fonction qui, à une fonction continue sur [-1 ; 1], associe la longueur de sa courbe représentative
|| . || désigne la norme infinie (ou norme de la convergence uniforme)


1) fn converge bien uniformément vers f (contrairement à ce qu'insinuent certains commentaires plus bas...) :
|| fn - f || = || fn || = sup(fn) = (1/2)^n qui converge bien vers 0.


2) long n'est pas continue en f. Pour le prouver, il faut montrer que :
Il existe epsilon >0, pour tout eta >0, il existe g_eta, || g_eta - f || < eta et || long(g_eta) - long(f) || > epsilon.

Prenons donc epsilon = 1. Soit eta > 0.
On construit une courbe "en dents de scie" (affine par morceaux) qui vaut (+eta) en (-1), (-eta) en (-1 + eta), (+eta) en (-1 + 2*eta), et ainsi de suite (faire un dessin). La courbe compte ainsi environ 2/eta "morceaux" sur [-1, 1]
On vérifie aisément que la fonction g_eta associée vérifie :
o || g_eta - f || = || g_eta || = eta
o Comme chaque morceau de la fonction affine par morceaux g_eta a une longueur > 2*eta, on a
|| long(g_eta) - long(f) || = long(g_eta) - long(f) > (2/eta) * (2*eta) - 2 = 2 > epsilon (=1)

On a donc bien vérifié que la fonction long n'est pas continue en f.


3) Dans la vidéo, on nous dit que
o Pour tout n, long(fn) = Pi (c'est vrai)
o fn converge vers f avec long(f) = 2 (c'est vrai)
o Donc lim ( long(fn) ) = long (lim (fn) ) = long(f)
On ne peut pas affirmer ce dernier point en raison de la non continuité de long en f : l'erreur se situe bien ici !

[sarahast]

Dit simplement : l'erreur est dans le fait qu'on prétend que la longueur de la limite d'une suite de chemins est égale à la limite des longueurs de chaque chemin.
Ce qui n'est pas prouvé ; et est faux et cette vidéo est d'ailleurs une démonstration de la non continuité de la longueur d'un chemin.

La longueur n'est pas continue pour la convergence uniforme.

Ici on a une suite de fonctions : f_ n(x)=racinecarrée( (r/(2^n))² - x²) définie sur [-1, 1]
Qui tend uniformément vers la fonction f(x)=0 définie sur [-1, 1]
Ce qui est affirmé c'est que lim longueur(f_n)= longueur( lim f_n)
Ce qui prétend une continuité de la fonction "longueur" en la fonction f.
Ce qui est faux.

[loicgeeraerts]

D'un point de vue didactique, c'est bien sympa de laisser les gens se poser des questions et d'échanger entre eux dans les commentaires. Mais, à la lecture d'une petite partie des commentaires et au vu des erreurs et mauvaises conceptions que j'ai trouvées dans les commentaires, ce serait vraiment bien de donner une bonne explication dans une autre vidéo par exemple. Sinon, bien que votre intention soit louable, l'enfer lui, est une fois de plus pavé de bonnes intentions et je crains que la connaissance (mathématique) n'en ressorte pas indemne.

[MichelSLAGMULDER]

Yvan dans toutes tes vidéos, tu fais soit des divisions par 0 soit des raisonnements aux limites plus que limites ;) . Voila quoi !

[lacklaky_sama]

Une droite n'as pas d'épaisseur, elle n'est représenté que par 1 dimension et un demi-cercle est défini par 2 dimension même pour ton demi-cercle d'un rayon infiniment petit donc elle est forcément plus grande!!

[douniamessaoudi]

L'erreur c'est qu'il n'y a pas d'erreur nn jrigole ^^ L'erreur c'est que les demi cercles liés ne sont pas plat et ne seront jamais égaux au diamètre (pas très mathématiques tout sa xD)

[lmkawi]

Un demi-cercle ne devient jamais plat comme un ségement

[albandasilva]

Explication savante : il y a convergence sur l’espace topologique des compacts de R2 pour la distance de Haussdorf mais la mesure de Lebesgue n’est pas continue sur cet espace. Explication intuitive : la somme des écarts entre l’union des petits cercles et le diamètre est toujours égale à 1.

[tetraederzufrequenz]

I don't understand French. But this lesson was very easy because mathematics are a universal language. 👌 Thank you.

[clementbourjas]

La longueur d'une ligne formé par des demi-cercles infiniment petit sera toujours plus grande que la longueur de la ligne.
La somme des longueurs des demi-cercles sera toujours égale à π et non à 2.

[heyzennsama]

Ce sang froid a toute épreuve c'est incroyable