Stochastik 1: VL9 -- Lebesgue-Integration

Wir kennen nun Maßräume und messbare Abbildungen, nun kombinieren wir beide und betrachten (abstrakte) Integrale über messbare Abbildungen auf Maßräumen. Später werden wir dieses abstrakte Integral nutzen, um Erwartungswerte, Varianz, etc. zu definieren, also Dinge, für die ihr in einfachen Beispielen möglicherweise schon eine Intuition habt.

In dieser ersten Integrationsvorlesung starten wir einfachen Funktionen (auch Treppenfunktionen genannt) und definieren dann das Integral für nicht-negative Funktionen.

[finn]

20:48 wir brauchen also die Summe nur als "Laufindex" für die k? Weil eine "echte Summe" kommt durch die Disjunktheit der Ak gar nicht zusammen, da die Indekatorfunktion nur für ein Ak 1 ist oder? Ein w (klein Omega) kann ja nur in einer der Mengen vorhanden sein.

[finn]

1:19:25 brauchen wir die 2. Indikatorfunktion, da wir sonst ein Problem mit der unendlichen Summe hätten und zerlegen deshalb nicht einfach weiter?

[finn]

Eine Frage zum MCT. Wenn ich diesen Satz bei Beweisen anwenden will, kann ich dann sagen dass fn eine beliebige Folge positiver einfache Funktionen sei die punktweise gegen f konvergiert oder muss ich diese Folge auch angeben und die angeführten Eigenschaften zeigen?

[finn]

ist eigentlich der Grund dafür warum wir den Ansatz mit der Zerlegung der Y Achse und nicht wie bei Riemann unsere X Achse zerlegen, dass wir Omega nicht genauer definiert haben und somit nur mit dem Bildraum arbeiten können. Können wir daher Omega beliebig wählen z.B die natürlichen Zahlen? Oder hatten wir irgendwelche Einschränkungen. Ich bin mir nämlich nicht sicher, da wir meistens auch eine "negative X Achse hatten und dies hätten wir ja dann nicht immer oder? Hoffe die Frage ist verständlich :) .

[felixnuxoll]

Ist mit einfacher Funktion und Treppenfkt das selbe gemeint??

[finn]

Zeichnen wir die Treppenfunktionen immer als Rechtecke da dass unserer Definition des Integrals entspricht? Weil eigentlich wären es horizontale Linien oder habe ich einen Denkfehler 🤔?

[finn]

36:11 mir ist klar dass es wenig Sinn macht, dass die alpha und betas den Wert 0 annehmen. Wieso aber können wir auch annhemme dass sie nicht kleiner als 0 sind? Somit wären unsere Treppenfunktionen ja immer positiv.