Exercice matrices : I+AB est inversible si et seulement si I+BA est inversible

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• Lien entre matrice et application linéaire.
• Diverses caractérisations de l'invisibilité.
• calcul de l'inverse d'une matrice de taille n*n
  1. Emmanuel Bougnol
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Комментарии
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Troisième méthode un peu plus compliquée:
•On note Xab et Xba les polynômes caractéristiques de -AB et -BA. On montre qu'ils sont égaux :
• -AB=A(-BA)A^-1 donc si A et B sont inversibles, -AB et -BA sont semblables donc ont le même pol caract
• par continuité de M-->Xm et densité de GLn(R) dans Mn(R) (là il y a du bluff il faut 15 lignes pour l'écrire propre) c'est vrai tout le temps, Xab=Xba
•Donc comme In+AB est inversible,
0!=Xab(1)=Xba(1) donc In+BA est inversible

muusteh
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