#161. САМАЯ КРАСИВАЯ ФОРМУЛА В МАТЕМАТИКЕ — ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА: e^(iπ)+1=0

Разбираемся, как устроена самая красивая формула в математике: формула Эйлера e^(iπ)+1=0.

Литература:
Зорич В.А. Математический анализ. Часть I – Изд. 8, испр. – М: МЦНМО, 2017.

БОЛЬШЕ КРУТЫХ ВИДЕО ПО ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Привет! В этом ролике мы в рамках школьной программы постараемся разобраться с тем, что такое разложение функции в ряд Тейлора (ряд Маклорена) на примере экспоненты, посмотрим на графическую связь функций и степенных рядов. Ну а в финальной стадии разберемся с известным тождеством Эйлера, которое многие математики признают самым красивым из всех.

По ходу ролика упоминается немало различных теорем из курса математического анализа, если у вас есть желание разобраться со строгим доказательством использованных утверждений, можете обратиться к книге В.А.Зорича по математическому анализу. Если вам нравится математика — обязательно подпишитесь на этот канал: здесь есть, что посмотреть!

В надежде увидеть больше зрителей, разобравшихся в содержании ролика, резюмирую и пересказываю его текстом.

СУТЬ ВКРАТЦЕ.

Мы пытаемся понять, как работает формула Тейлора (ее частный случай — формула Маклорена) на примере функции f(x)=e^x: смысл в том, что многие функции, экспоненту в частности, удается представить в иной, более удобной в некоторых задачах, форме — с помощью степенного ряда. Далее, работая в этой удобной форме, совершаем несколько нехитрых преобразований и доказываем верность равенства e^(iπ)+1=0.

КОНКРЕТНЫЕ ШАГИ.

1. Воочию убедились в существовании таких полиномов, графики функций которых могут быть сколько угодно похожими на графики функций e^x, sinx и cosx [0:01].
2. Увидели формулы, которые позволяют получить такие волшебные полиномы [1:24].
3. Пробуем разобраться с этими формулами на примере экспоненты: мы ограничились нахождением первых пяти производных у f(x)=e^x и у g(x)=a+bx+cx²+....Дифференцируем f(x) — раз, затем полученную функцию еще раз, потом еще, еще и еще... , то же самое и с g(x) — последовательно находим производные [2:37].
4. Нашли значения всех этих производных и самих функций в точке x=0: подставили вместо "икс" нолик в функции f(x) и g(x) [3:00].
3. Приравняли найденные значения (3-ий и 5-ый столбцы), тем самым нашли значения неизвестных коэффициентов a, b, c и т.д. [3:17].
5. Обобщив все это дело, получили разложение e^x в ряд, который называется рядом Маклорена. Можешь даже ставить ударение на "e", не обижусь, главное, осознать посыл: если функции, упрощенно говоря, одинаковы, то не могут быть у них разные значения производных — тоже должны быть одинаковыми [4:27].
6. С помощью все той же формулы Маклорена можно получить разложения для sinx и cosx — это предлагаю сделать в качества упражнения. Итог показываю в момент [4:49].
8. Вместо z мы взяли iy для функции e^z: поскольку iy — тоже некоторый комплексный аргумент, то формулы (точнее определения) для наших функций все еще работают [5:18].
10. Взяли y=π, вспомнили, что cosπ=-1, sinπ=0. Значит, e^(iπ)+1=0, ч.т.д. [5:54].

Далее были шутки про пустой кошелек и прочие дела. Хэппи энд!

0:00 — Экспонента в виде ряда
0:51 — Ряды для синуса и косинуса
1:20 — Доказательство разложения e^x
4:51 — Самая красивая формула!
6:10 — Что красивого?

#Математика #Матан #Эйлер

[guyfromphotostock]

так, а теперь, что такое ряды, кто такие тейлоры и при чём тут мой кошелек

[unfade]

Пи:"Я из геометрии!"
i: "Я из алгебры!"
e: "Я из мат. анализа!"
1: "Я из арефметики!"
0: "А я из твоего кошелька))0))00)"

[Betaron]

Поступил в ВУЗ, и теперь могу смотреть этот канал, удивительно.. Самый высокий порог вхождения, который я знаю.

[fbezpco]

Спасибо огромное, что популяризируете такие прекрасные вещи, которые внутри и около школьного курса математики никто не осмелится затронуть!
Эта формула действительно поражает!

[glebpichkur]

Год назад смотрел данное видео и ничего не понял. Сейчас на втором курсе вернулся к данному видео уже преисполниный рядом тейлора и знаниями комплексных величин, а также их крутостью и важностью в анализе цепи переменного тока, в общем... я проникся (теперь не грех и лайк поставить)

[StanislavShavlinsky]

Я сюда деградировать прихожу, а вы мне тут высший курс математики обратно в мозг загрузили

[МаксимК-шх]

Я человек простой. Увидел функцию - разложил в ряд.

[malejeeck]

Спасибо родителями Эйлера, что воспитали такого замечательного сына, ведь он совершил неоценимый вклад в создание этого видео! Эйлер, спасибо, что был, спасибо за прекрасное будущее, в котором есть это видео!

[mstitel]

Ты гений, харизма на высоте, больше таких роликов, пожалуйста)

[inyouhead]

"А я из твоего кошелька" Просто убило😂😂😂😂😂😂😂
Я встречался с такой штукой, но не видел ее вывод, спасибо Вам!

[Dasistfantastisch]

Смотрел в 10 классе, не понял, смотрел в 11 - аналогично.
И только сейчас на 1 курсе наконец-то понял!
Спасибо за стимул постигать непостижимое!

[stepantellur]

Все было понятно, до 0:04, а видео крутое ヾ(´A｀)ノﾟ

[nrkozyr]

Побольше бы именно такого контента!!! Редких но очевидных, незаезженных преобразований!
Обычных разборов экзаменов много, всё одно и то же! Давай позаковыристей!

[ДэнМюллер]

Я хоть и математик но чувствую себя гуманитарием

[lizix_lizun]

6 лет прошло...😢 И ч это смотрю
Неважно, когда вышел видос, все ваши ролики прекрасны❤

[eegicheck]

Дядюшка wild, так обожаю Вас. Сижу вот вечерочком на своём мехмате, повторяю миллион и одну теорему Кантора к коллоквиуму, утомлюсь и как в старые добрые открою ютуб, и тут ваш голос и шуточки, и как будто домой вернулся, а тут плед, чай, кот, так уютненько

[totkolpovwatch]

Пол года назад смотрел это видео, тогда понял на 0 а сейчас на все 100%. Спасибо большое!

[ИльяГригоренко-ск]

Ещё только перехожу в 8, ни шиша не понимаю, но как-то это всё чертовски красиво) приятно смотреть

[dimdim]

Как я наглядно понимаю - благодаря мнимой единице, мы можем зеркалить экспоненциальную функцию по оси y , т.е. получается в одну четверть периода экспонента возрастает как и положено, а в другую четверть периода ее разворачивает зеркально и придавливает обратно к оси х Ну и потом тоже самое, только в отрицательной области. Т.е. как в колебательном контуре - емкость сначала начинает заряжаться экспоненциально, но потом ее начинает передавливать уже в обратную сторону заряжающаяся экспоненциально индуктивность - так и ходит туда сюда по синусу (косинусу). Таким образом, связав экспоненциальную функцию с тригонометрической функцией, которая в свою очередь непосредственно связана с "пи" мы можем связать "е" и "пи".

[apschni]

Наконец-то ролик! Как долго мы его ждали!