Только 2% могут решить. Одна из самых красивых задач по геометрии

Все данные на рисунке, надо найти угол Х.

[mikhailkadomtsev]

Задача красивая, но предложенное решение далеко не самое простое. Да, проще опустить перпендикуляр от угла на ту сторону, которая внутри треугольника. Получится треугольник с углом 30 градусов., а дальше очень быстро доказывается, что смежный прямоугольный треугольник имеет углы в 45 градусов. Стало быть, 30+45=75

[manshandan]

Спасибо! Красивое решение. Можно, конечно, и по-другому, например двух перпендикуляров (от угла х и вершины) но, согласен, так же - красиво!

[TrancePartyVideo]

а я решил алгебраически без сумасшедщих этих построений, достаточно достроить высоту (h), катет прилегающий к углу x например назовем y, и выразим высоту тремя способами: tg45*(a+2a-y) = tg60*(2a-y) = tgx *y .., потом путем несложных вычислений приходим к тому что тангенс икс равен 2+корень из трех, что соответствует углу 75 градусов.., наверное если посидеть можно составить красивую алгебру даже, но от корней не уйти.., тангенс 60 это корень из трех..

[Massaraksh]

Задача решается универсальным методом: возьмем за точку (0, 0) системы координат самую правую точку треугольника. Тогда прямая с углом 45° имеет уравнение y=-x, прямая с углом 60° имеет уравнение y=-sqrt(3)(x+a). Решаем систему из двух линейных уравнений, находит координату пересечения, то есть самой верхней точки (-sqrt(3)*a/(sqrt(3)+1), sqrt(3)*a/(sqrt(3)+1)). Координаты самой левой точки (-3a, 0), средней точки (-a, 0). Зная все координаты, вычисляем стороны треугольника. Зная все стороны треугольника, вычисляем все его углы массой способов. Можно для упрощения a заменить на 1, углы от этого не изменятся.

[katajator]

Очень красивое решение, с удоволтствием посмотрела. Спасибо.

[НиколайЛебедь-ок]

Красивое решение. Можно, конечно, и по-другому, но, согласен, так - красиво!

[raincloud]

Не надо строить равностороннего треугольника. Строим высоту внутреннего треугольника от угла x. Получается прямоугольный треугольник у которого один из уголов 30 градусов. Страна против етого угла есть половина гипотенузы = a. Потом тоже самое...

[IvanPetrov-tddk]

А я с помощью теорем косинусов и синусов выразил синус искомого угла, подставил его в маткад и взял arcsin, тоже получил округлённо 75 градусов. Но это решение, конечно, куда элегантней.

[ЛаураБалаян-те]

Конечно это красивое решение, но по-моему было бы проще с угла х провести перпендикуляр и очень легко можно высчитать угол х Очень неудобно, что углы не обозначены буквами И у меня также получилось 75

[СергейК-ыф]

Провели от вершины угла Х перпендикуляр к отрезку внутри нашего треугольника и быстрее все получится

[danil]

Достраиваем до 2а, треугольник получается равносторонний.
Смотрим на углы, понимаем что тут есть подобные треугольники, а значит х=60+15.
Ходы если расписывать почему они подобны, решение вряд ли короче получиться.

[AlexeyEvpalov]

Без построений. Обозначим отрезок внутри треугольника b. Тогда по теореме синусов: из левого треугольника b/sinx=2a/sin(180°-(x+60°)), из правого треугольника b/sin45°=a/sin15°. Выразим из первого b/2a=sinx/sin(x+60°), из второго b/2a=sin45°/2sin15°. Приравняв правые части, получим уравнение Откуда x=75°. Проверка: sin75°/sin(75°+60°)=sin45°/2sin15°, подставив sin15°=cos75° и sin135°=sin45° (по формулам приведения) в равенство получим 2sin75°cos75°=sin45°sin45°, свернём sin двойного угла и подставим значения sin45°, sin150°=2/4, sin30°=1/2 (верно). Ответ: x=75°

[ЛюбовьЯкунина-эж]

Очень красивое дополнительное построение до равнобедренного треугольника 👍👍👏👏👏🤔

[chugun]

У меня с другим, гораздо более быстрым решением ответ иной, а чей правильный я не знаю. Может знатоки подскажут?
Суть такова:
По свойству смежных углов находим угол смежной 60 градусам. То бишь, 120. Суммируя 2 угла (120+45) получаем 3 угол (35 градусов). Если сторона "а" протволежит углу 35 градусов, то угол "2а" равен 70 градусов. Ну и "x" бужет равен 50 градусам

[santashmyakus]

Без построений из теоремы синусов для двух треугольников получится выражение вида: sin(60+x)=C*sin(45+x). C - коэффициент известный. Отсюда tg x находится, а значит Х.

[gediminass]

∆a=120+45+15 esli narisovatj na levoj storone toze ∆a polucitsia ∆a2aa na baze oba ugla 45 znacit na verchu ✓ 15+60+15 . ∆2a =60+60+60

[maximshukanov]

А я блин провёл с верхнего угла высоту и через арктангенсы решал. Но тут калькулятор нужен. Потом я решил собственно вашим методом, но без синего равностороннего треугольника, только прямоугольным.

[MrArcan]

из построений - высота. Из использованного - теорема синусов, ну и определение синуса/косинуса/тангенса. Всё. Я вхожу в 2%?

[BakkalV]

Решил иначе. Опустил высоту из вершины. Пусть отрезок от основания высоты до угла 60 будет "у", а длина высоты "н". Рассмотрев 2 треугольника (вершина, основание высоты и угол 60 и вершина, основание высоты и угол 45), получаем 2 линейных уравнения, из которых находим "н" и "у". Рассмотрев треугольник вершина, основание высоты и угол "х", находим tg(х)=2+Корень(3).

[ВерцинГеториг-чь]

Проводим с угла Х перпендикуляр на чивиану тр-ка и задача легко решается .