4 Integrali difficili per vedere se sei pronto per Analisi 1

Integrali di difficoltà ALTA in 3 MINUTI L'UNO! 🔥
4 Integrali di Funzioni che devi saper fare per passare Analisi 1: continuiamo la rubrica dedicata agli studenti che devono affrontare Analisi Matematica I e che sono bloccati sugli esercizi degli integrali indefiniti.
Questo video è un vero e proprio UPGRADE su quasi tutte le tecniche di integrazione: vediamo infatti per ogni esercizio un nuovo modo di applicare la SEMPLIFICAZIONE, LA SOSTITUZIONE e la FORMULA PER PARTI, per cui vi consiglio caldamente di conservare ciò che vedrete oggi nei vostri appunti. 😉

🚨 ATTENZIONE: 🚨
questo video NON è sostitutivo di una effettiva lezione su come risolvere ogni esercizio sugli integrali di funzioni, ma serve solo come ripasso e come serie di spunti per risolvere esercizi di difficoltà ALTA.
Se siete interessati a una guida pratica, schematica, breve ed economica per sapere come svolgere OGNI esercizio sugli integrali (definiti, indefiniti, impropri ecc.), vi rimando al mio corso.

Buono studio!
-Marco

00:00-02:20 Integrale di Coseno al cubo
02:20-06:44 Integrale con una nuova sostituzione
06:44-09:24 Integrale con una nuova tecnica di semplificazione
09:24-15:13 Integrale con una nuova formula per parti

[ClearMath]

*ATTENSCION:*
Segnalo un errore nell'ultimo integrale: a un certo punto quel √(1-x^2)^3 l'ho scritto come √(1-x^2). Chiaramente l'elevamento al cubo doveva esserci, come ho scritto nello schema dell'integrazione per parti.
Scusate!

[Francesco-ibdx]

Non mi stancherò mai di dire che questo canale è sottovalutatissimo. Da dove hai imparato a usare minim?

[antoniogenuesi]

Si puo applicare anche il teorema di Tchebycheff
Poiche (3+1)/2 =intero possiamo risolvere in modo elementare ponendo
1-x^2=t^2
x=(1-t^2)^1/2. dx = ecc....

[SilviaMichelotti-rf]

Buongiorno, nell'ultimo esercizio poteva essere utilizzato il metodo di sostituzione? Ponendo: t=√/1-x^2), oppure no? Grazie mille

[brayandesilva]

"ho raccolto per fare il figo" hahah

[loekvanderzijde]

che bello guardare i video di analisi senza sapere niente (sono in terza). Quest'estate mi imparo almeno fino ad analisi 2

[kylekatarn]

L'ultimo integrale l'ho risolto per sostituzione. Viene bello lunghino però XD. Allora, abbiamo:

integ[x^3*rad(1-x^2)dx]. Applico la sostituzione x=sint => dx=costdt. Diventa:

Il radicale lo possiamo convertire in cost, e quindi abbiamo:

integ[sin^3(t)*cos^2(t)dt]. Sapendo che cos^2(t)=1-sin^2(t), facciamo questa sostituzione e diventa:

= integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt]. Questi due integrali si risolvono allo stesso modo in cui si risolve l'integrale di sin^2(t), ossia integriamo per parti. Partiamo dal primo integrale:

integ[sin^3(t)dt] = integ[sin(t)*sin^2(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + integ[cos(t)*2sin(t)cos(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sin(t)cos^2(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sin(t)*(1-sin^2(t))dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sintdt] - 2integ[sin^3(t)dt]

Riassumendo, abbiamo: integ[sin^3(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sintdt] - 2integ[sin^3(t)dt]
Allora, l'ultimo integrale lo si porta al primo membro e abbiamo:

3integ[sin^3(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) -2cost = -cos(t)*[sin^2(t) + 2] e quindi integ[sin^3(t)dt] = -[cos(t)/3]*[sin^2(t) + 2]

Abbiamo risolto il primo integrale, ora passiamo al secondo:

integ[sin^5(t)dt] = integ[sin(t)*sin^4(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) + = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)cos^2(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) + = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)dt] - 4integ[sin^5(t)dt].

Riassumento di nuovo, abbiamo: integ[sin^5(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)dt] - 4integ[sin^5(t)dt]
Dato che abbiamo gia risolto l'integrale di sin^3(t), portiamo al primo membro l'ultimo integrale e abbiamo:

5integ[sin^5(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) - [4cos(t)/3]*[sin^2(t) + 2]

integ[sin^5(t)dt] = - [cos(t)/5]*[sin^4(t) + (4/3)*(sin^2(t) + 2)]

Avendo risolto i due integrali, possiamo ora eseguire la differenza:

integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = -[cos(t)/3]*[sin^2(t) + 2] + [cos(t)/5]*[sin^4(t) + (4/3)*(sin^2(t) + 2)]

prendiamo in evidenza cost, e abbiamo:

integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = cost*{[1/5]*[sin^4(t) + (4/3)*(sin^(t) + 2) - (1/3)*(sin^2(t)+2)}

A questo punto eseguiamo le varie moltiplicazioni dentro la parentesi graffa. Si ottiene:

integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = cost*{(sin^4(t)/5) + (4sin^2(t)/15) + (8/15) - (sin^2(t)/3) - (2/3)}

Eseguiamo le somme algebriche e portiamo il denominatore comune fuori dalla parentesi. Si ottiene:

integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = (cost/15)*{3sin^4(t) + 4sin^2(t) + 8 - 5sin^2(t) -10} = (cost/15)*{3sin^4(t) - sin^2(t) -2} + c

Abbbiamo finito. Dobbiamo solo riportare tutto alla variabile di partenza, avendo posto x = sint. Ricordando che cost = rad(1 - sin^2(t)), allora:

integ[x^3*rad(1-x^2)dx] = integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = (cost/15)*{3sin^4(t) - sin^2(t) -2} + c= [rad(1 - sin^2(t))/15]*{3sin^4(t) - sin^2(t) -2} + c = [rad(1 - x^2)/15]*{3x^4 - x^2 -2} + c

[Laewlash]

Svolgendo per parti l'ultimo integrale, f'(x)g(x) non dovrebbe essere integrale di [ (2/3)x (1-x^2)^(3/2)]? Dato che la l'integrale svolto nel "box" restituisce - (1-x^2)^(3/2) tutto diviso 3?

[ChrisRossaroDidatticaDigitale]

L’ultimo integrale per parti, si poteva anche fare con il cambiamento di variabile x=sin(t).

[federicoprognoli]

Sapete integrare lnx/(x^2 +1) (integrale indefinito)

[pietroesposito]

Studio fisioterapia, mi sono ritrovato qui per caso, ho i mal di testa.

[pietrosmusi]

Che applicazione hai usato oer scrivere?

[Gabriele-Gorreri]

Dove posso trovare quell'algoritmo che hai mostrato nel video?

[francescorange]

Se non sbaglio l'ultimo integrale si può fare anche con la sostituzione t²=1-x², lo dico da non amante dell'integrazione per parti

[tommasomauro]

BRAVO!!! Alcuni di questi trucchi per risolvere gli integrali non mi erano mai venuti in mente!!! Grazie!!! unica cosa... potresti parlare un pò più lentamente e lasciare le videate un pò più a lungo? credo eviterebbe a tanti (me compreso) di fermare più volte il video e anche, a volte, dover tornare un pò indietro per risentire e capire bene!!! Cmq sti metodi sono una FIGATA!!! W JUVE SEMPRE!!!

[schematism]

Buonasera, sono studente del dipartimento di filosofia ed ho intenzione di seguire Analisi I come crediti liberi. Quindi, questo è il livello generale richiesto come preparazione sugli integrali?

[vincenzodiperna]

my nigga ho motivo di credere che l'ultimo integrale sia sbagliato

[justendeavor]

Il terzo, il secondo integrale non poteva diventare 16( 1/2 arctan (radicedix/2) )

[davideluci]

ho seguito tutto e fatto gli esercizi ma no, non mi sento pronto. forza roma